Question

如圖，直線y=-2x+6與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)C、B，與直線y=x相交于點(diǎn)A．
（1）求點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）求這兩條直線的交點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（3）求兩條直線與y軸圍成的三角形的面積；
（4）點(diǎn)E為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)D從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿x軸的正方向移動(dòng)，過點(diǎn)D作y軸的平行線，與直線y=-2x+6相交于點(diǎn)F，與直線y=x相交于點(diǎn)G，點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t秒．試問以O(shè)、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形能否是平行四邊形？如果能，求出所有t的值；如果不能，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）對(duì)于直線y=-2x+6，令x=0與y=0分別求出對(duì)應(yīng)的y與x的值，即可確定出B與C的坐標(biāo)；
（2）聯(lián)立兩直線解析式組成方程組，求出方程組的解即可得到A的坐標(biāo)；
（3）兩直線與y軸組成的三角形為三角形AOB，以O(shè)B為底，A的橫坐標(biāo)為高，利用三角形的面積公式求出即可；
（4）由E為OB的中點(diǎn)，由OB的長求出OE的長，當(dāng)t大于0小于2時(shí)，過D的直線在A的左側(cè)，如圖1所示，表示出F與G的坐標(biāo)，進(jìn)而確定出FG的長，四邊形OEFG為平行四邊形時(shí)，F(xiàn)G=OE，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；當(dāng)t大于2時(shí)，過D的直線在A右側(cè)，如圖2所示，同理表示出FG，由四邊形OEFG為平行四邊形得到FG=OE，列出關(guān)于t的方程，求出方程的解得到t的值，經(jīng)檢驗(yàn)符號(hào)題意，綜上，以O(shè)、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形能是平行四邊形．

解答：解：（1）對(duì)于直線y=-2x+6，
令x=0，解得：y=6；令y=0，解得：x=3，
則B（0，6）、C（3，0）；

（2）聯(lián)立兩直線方程得：

y=x y=-2x+6

，
解得

x=2 y=2

，
則點(diǎn)A（2，2）；

（3）由B（0，6），得到OB=6，
則S_△AOB=

1

2

OB•x_{A橫坐標(biāo)}=

1

2

×6×2=6；

（4）能，理由為：
∵點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，
∴OE=3，
當(dāng)0＜t＜2時(shí)，如圖1所示，
點(diǎn)F的坐標(biāo)是（t，-2t+6），點(diǎn)G的坐標(biāo)是（t，t），F(xiàn)G=-2t+6-t=-3t+6，
若四邊形OEFG為平行四邊形，
則FG=OE，即-3t+6=3，解得：t=1，
經(jīng)檢驗(yàn)，t=1符號(hào)題意；
當(dāng)t＞2時(shí)，如圖2所示，此時(shí)FG=t-（-2t+6）=3t-6，
若四邊形OEGF是平行四邊形，則FG=OE，即3t-6=3，解得：t=3，
經(jīng)檢驗(yàn)，t=3符號(hào)題意，
綜上所述，當(dāng)t=1或3時(shí)，以O(shè)、E、F、G為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，以及兩一次函數(shù)的交點(diǎn)，是一道中檔題．