Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點O為坐標原點，點B的坐標為（4，3），點A,C在坐標軸上，點P在BC邊上，直線ι1:y=2x+3，直線ι2：y=2x-3

（1）求直線l1與x軸的交點坐標T，直線ι2與AB的交點坐標Q和與x軸的交點坐標G；

（2）判定四邊形ATGQ的形狀并求它的面積；

（3）已知點M在第一象限，且是直線l2上的點，若ΔAPM是等腰直角三角形，求點M坐標

Answer 1

【答案】（1）T的坐標為（，0），Q的坐標為（3，3），G的坐標為（，0）；（2）四邊形ATGQ是平行四邊形，面積為9；（3）點M的坐標為或或.

【解析】

（1）根據坐標軸上的點的坐標特點可求直線l1與x軸的交點坐標T，直線l2與x軸的交點坐標G，根據直線AB上點的縱坐標特征可求直線l2與AB的交點坐標Q；

（2）從四邊形ATGQ的兩組對邊的位置關系和一組鄰邊的數量關系進行判斷即可；

（3）作圖分三種情況討論，設點的坐標為，根據證明三角形全等得到對應邊長的關系，結合題目數據列出等式，求解x的值即可.

解：（1）直線l1：當y=0時，2x+3=0，解得，則直線l1與x軸的交點T的坐標為（，0）；直線l2：當y=3時，2x－3=3，解得x=3，則直線l2與AB的交點Q的坐標為（3，3），當y=0時，2x－3=0，解得，則直線l2與x軸的交點G的坐標為（，0）.

（2）如圖1，因為直線l1與直線l2的k相同，都是2，所以AT∥QG，因為T（，0），G（，0），所以TG=3≠AT，又因為AB∥OC，所以四邊形ATGQ是平行四邊形，且平行四邊形ATGQ 的面積=TG×OA=3×3=9.

（3）①若點A為直角頂點，點M在第一象限，AM=AP，如圖2，過點P作PF⊥y軸于點F，過點M作MN⊥y軸于點N，則Rt△AMN≌Rt△PAF，∴MN=AF，AN=PF=4，∴M點的縱坐標為7，當y=7時，2x－3=7，解得x=5，即MN=5，∴AF=5，于是P點的坐標為（4，－2），∵點P在BC邊上，∴此種情形點M不存在；

②若點P為直角頂點，點M在第一象限，如圖3，過點M作MN⊥CB交CB的延長線于點N，

則Rt△ABP≌Rt△PNM，

∴AB=PN=4，MN=BP，

設M（x，2x－3），則MN=x－4，∴ ，解得， ；

③若點M為直角頂點時，點M在第一象限，如圖4，設，

過點作交OA于點G1，交BC于點，

則Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，

∴，

∴，

解得x=2，∴ ；

設，同理可得，解得，∴ .

綜上所述，點M的坐標為或或.