(2002•哈爾濱)如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(點A在點B左側(cè)),與y軸交于點C,且當(dāng)x=0和x=2時,y的值相等.直線y=3x-7與這條拋物線相交于兩點,其中一點的橫坐標是4,另一點是這條拋物線的頂點M.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)P為線段BM上一點,過點P向x軸引垂線,垂足為Q.若點P在線段BM上運動(點P不與點B、M重合),設(shè)OQ的長為t,四邊形PQAC的面積為S.求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍;
(3)在線段BM上是否存在點N,使△NMC為等腰三角形?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)當(dāng)x=0和x=2時,y的值相等,可知拋物線的對稱軸為x=1,將x=1代入直線的解析式中即可求出拋物線頂點的坐標,根據(jù)直線的解析式還可求出另一交點的坐標,可用頂點式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式,然后將另一交點的坐標代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式.
(2)由于四邊形QACP不是規(guī)則的四邊形,因此可將其分成直角三角形AOC和直角梯形QOCP兩部分進行計算.先求出直線BM的解析式,然后將x=t代入直線BM的解析式中即可求出QP的長,然后根據(jù)梯形的面積計算公式即可求出梯形QOCP的面積.然后根據(jù)四邊形QACP的面積計算方法即可得出S,t的函數(shù)關(guān)系式.
(3)可分三種情況進行討論:
①NM=MC;②NM=NC;③MC=NC.可根據(jù)直線BM的解析式設(shè)出N點的坐標,然后用坐標系中兩點間的距離公式表示出各線段的長,根據(jù)上面不同的等量關(guān)系式可得出不同的方程,經(jīng)過解方程即可得出N點的坐標.
解答:解:(1)由題意可知:拋物線的對稱軸為x=1.
當(dāng)x=1時,y=3x-7=-4,因此拋物線的頂點M的坐標為(1,-4).
當(dāng)x=4時,y=3x-7=5,因此直線y=3x-7與拋物線的另一交點為(4,5).
設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1)2-4,
則有:a(4-1)2-4=5,a=1.
∴拋物線的解析式為:y=x2-2x-3.

(2)根據(jù)(1)的拋物線可知:A(-1,0)B(3,0)C(0,-3);
易知直線BM的解析式為y=2x-6;
當(dāng)x=t時,y=2t-6;
因此PQ=6-2t;
∴S四邊形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC=×(3+6-2t)×t+×3
即:S四邊形PQAC=-t2+t+(1<t<3).

(3)假設(shè)存在這樣的點N,使△NMC為等腰三角形.
∵點N在BM上,不妨設(shè)N點坐標為(m,2m-6),
則CM2=12+12=2,CN2=m2+[3-(6-2m)]2,或CN2=m2+[(6-2m)-3]2
MN2=(m-1)2+[4-(6-2m)]2
△NMC為等腰三角形,有以下三種可能:
①若CN=CM,則m2+[(6-2m)-3]2=2,
∴m1=,m2=1(舍去).
∴N(,-).
②若MC=MN,則(m-1)2+[4-(6-2m)]2=12+12
∴m=1±
∵1<m<3,
∴m=1-舍去.
∴N(1+,-4).
③若NC=NM,則m2+[3-(6-2m)]2=(m-1)2+[4-(6-2m)]2
解得m=2.
∴N(2,-2).
故假設(shè)成立.
綜上所述,存在這樣的點N,使△NMC為等腰三角形.且點N的坐標分別為:
N1,-),N2(1+,-4),N3(2,-2).
點評:本題主要考查了二次函數(shù)解析式、圖形面積的求法、函數(shù)圖象的交點、等腰三角形的構(gòu)成等知識點,綜合性強,考查學(xué)生分類討論,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法.
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