Question

如圖1，在等邊△ABC中，線段AM為BC邊上的中線，動(dòng)點(diǎn)D在直線AM（點(diǎn)D與點(diǎn)A重合除外）上時(shí)，以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE，連接BE．
（1）判斷AD與BE是否相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）如圖2，若AB=8，點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)在直線BE上且CP=CQ=5，試求PQ的長(zhǎng)；
（3）在第（2）小題的條件下，當(dāng)點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線（或反向延長(zhǎng)線）上時(shí)．判斷PQ的長(zhǎng)是否為定值，若是請(qǐng)直接寫(xiě)出PQ的長(zhǎng)；若不是請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC，CD=CE，再求出∠ACD=∠BCE，然后利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BQ于點(diǎn)N，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得PQ=2PN，CM⊥AD，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線相等可得CN=CM，然后利用勾股定理列式求出PN的長(zhǎng)度，從而得解；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，點(diǎn)C到PQ的距離等于CM的長(zhǎng)度，是定值，所以，PQ的長(zhǎng)是定值不變．

解答：解：（1）AD=BE．理由如下：
∵△ABC，△CDE都是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=60°，
∠BCE+∠BCD=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∵

AC=BC ∠ACD=∠BCE CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE；

（2）如圖，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BQ于點(diǎn)N，
∵CP=CQ，
∴PQ=2PN，
∵△ABC是等邊三角形，AM是中線，
∴CM⊥AD，CM=

1

2

BC=

1

2

×8=4，
∴CN=CM=4（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等），
∵CP=CQ=5，
∴PN=

CP2-CN2

=

52-42

=3，
∴PQ=2PN=2×3=6；

（3）PQ的長(zhǎng)為定值6．
∵點(diǎn)D在線段AM的延長(zhǎng)線（或反向延長(zhǎng)線）上時(shí)，△ACD和△BCE全等，
∴對(duì)應(yīng)邊AD、BE上的高線對(duì)應(yīng)相等，
∴CN=CM=4是定值，
∴PQ的長(zhǎng)是定值．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高線相等求出點(diǎn)C到PQ的距離等于CM是解題的關(guān)鍵．