Question

如圖1，點(diǎn)O是邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，設(shè)∠AOB=α°，∠BOC=β°

（1）將△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連結(jié)OD，如圖2所示．求證：OD=OC．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上，將△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△EAC，連結(jié)DE，如圖3所示．求證：OA=DE
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)α、β滿足什么關(guān)系時(shí)，點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上．并直接寫出AO+BO+CO的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出∠DOC=60°，OC=CD，進(jìn)一步可以得出△DCO為等邊三角形，即可以得出結(jié)論；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，再由全等的性質(zhì)可以得出△EAD≌△ABO，從而就可以得出結(jié)論；
（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出△ADC≌△BOC，△EAD≌△ABO，就可以得出∠α=∠β=120°，再利用勾股定理就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴CO=CD，∠DOC=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴DO=CO；
（2）∵△BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△EDC，△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△EAC，
∴△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，
∴AD=BO，∠DAC=∠OBC，EA=AB，∠EAC=∠ABC，
∴∠EAC-∠DAC=∠ABC-∠OBC，
即∠DAE=∠OBA，
在△EAD和△ABO中，

AD=BO ∠DAE=∠OBA AE=BA

，
∴△EAD≌△ABO，
∴OA=DE；
（3）∵△ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得△EAC，
∴AB=BC=CE=AE，
∴四邊形ABCE是菱形．
∵B、O、D、E在同一直線上，
∴B、O、D、E是菱形ABCE的對(duì)角線，
∴∠ABO=30°．
∵△ADC≌△BOC，△EAC≌△ABC，
∴∠ADC=∠BOC=β，∠ADE=∠AOB=α，
∴∠CDE=360°-α-β．
∵△COD是正三角形，
∴∠COD=∠CDO=60°．
∵點(diǎn)B、O、D、E在同一直線上，
∴∠BOC=∠CDE=120°，
∴∠ADC=120°，
∴∠ADE=120°，
∴α=β=120°．
∴∠BAO=30°．
∴∠BAO=∠ABO，
∴AO=BO，
同理可得：AO=CO．
∴AO=BO=CO．
作OF⊥AB于F，設(shè)BF=a，則BO=2a，
∴∠BFO=90°，BF=

1

2

AB=

1

2

，
在Rt△BOF中，由勾股定理，得
a=

3

6

，
∴BO=

3

3

，
∴AO+BO+CO=

3

，
即AO+BO+CO的最小值為

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和證明三角形全等是解答本題的關(guān)鍵．