Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）點M是弧AB的中點，CM交AB于點N，若MN•MC=8，求⊙O的直徑．

Answer 1

（1）證明：∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO．
∴∠COB=2∠ACO．
又∵∠COB=2∠PCB，
∴∠ACO=∠PCB．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACO+∠OCB=90°．
∴∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP．
∵OC是⊙O的半徑，
∴PC是⊙O的切線．

（2）解：連接MA、MB．（如圖）
∵點M是弧AB的中點，
∴，
∴∠ACM=∠BAM．
∵∠AMC=∠AMN，
∴△AMC∽△NMA．
∴．
∴AM²=MC•MN．
∵MC•MN=8，
∴．
∵AB是⊙O的直徑，點M是弧AB的中點，
∴∠AMB=90°，AM=BM=．
∴．
分析：（1）利用半徑OA=OC可得∠COB=2∠A，然后利用∠COB=2∠PCB即可證得結(jié)論，再根據(jù)圓周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切線；
（2）連接MA，MB，由圓周角定理可得∠ACM=∠BAM，進而可得△AMC∽△NMA，故AM²=MC•MN；等量代換可得MN•MC=BM²=AM²，進而利用勾股定理求出⊙O的直徑．
點評：此題主要考查了圓的切線的判定及圓周角定理的運用和相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，是一道綜合性的題目，難度中等偏上．