Question

已知A（1，0）、B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）五個點，拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）經(jīng)過其中的三個點．
（1）求證：C、E兩點不可能同時在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上；
（2）點A在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上嗎？為什么？
（3）求a和k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=a（x-1）²+k可知，拋物線對稱軸為x=1，而C（-1，2），E（4，2）兩點縱坐標(biāo)相等，應(yīng)該關(guān)于直線x=1對稱，但C（-1，2）與對稱軸相距2，E（4，2）與對稱軸相距3，故不可能；
（2）假設(shè)A點在拋物線上，得出矛盾排除A點在拋物線上；
（3）B、D兩點關(guān)于對稱軸x=1對稱，一定在拋物線上，另外一點可能是C點或E點，分別將C、D或D、E兩點坐標(biāo)代入求a和k的值．
解答：解：（1）∵拋物線y=a（x-1）²+k的對稱軸為x=1，
而C（-1，2），E（4，2）兩點縱坐標(biāo)相等，
由拋物線的對稱性可知，C、E關(guān)于直線x=1對稱，
又∵C（-1，2）與對稱軸相距2，E（4，2）與對稱軸相距3，
∴C、E兩點不可能同時在拋物線上；

（2）假設(shè)點A（1，0）在拋物線y=a（x-1）²+k（a＞0）上，
則a（1-1）²+k=0，解得k=0，
因為拋物線經(jīng)過5個點中的三個點，
將B（0，-1）、C（-1，2）、D（2，-1）、E（4，2）代入，
得出a的值分別為a=-1，a=，a=-1，a=，
所以拋物線經(jīng)過的點是B，D，
又因為a＞0，與a=-1矛盾，
所以假設(shè)不成立．
所以A不在拋物線上；

（3）將D（2，-1）、C（-1，2）兩點坐標(biāo)代入y=a（x-1）²+k中，得
，
解得，
或?qū)�E、D兩點坐標(biāo)代入y=a（x-1）²+k中，得
，
解得，
綜上所述，或．
點評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特點．關(guān)鍵是明確圖象上點的坐標(biāo)必須滿足函數(shù)解析式．