Question

【題目】如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點E，過點D作DF⊥AC于點F，交AB的延長線于點G.

(1)求證：DF是⊙O的切線；

(2)已知BD＝2，CF＝2，求AE和BG的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AE＝6，BG＝

【解析】

（1）連接OD，AD，由圓周角定理可得AD⊥BC，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)知BD=CD，再根據(jù)OA=OB知OD∥AC，從而由DG⊥AC可得OD⊥FG，即可得證；

（2）連接BE．BE∥GF，推出△AEB∽△AFG，可得= ，由此構建方程即可解決問題；

(1)證明：如圖，連接OD，AD.

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.

∵AB＝AC，

∴BD＝CD.

又∵OA＝OB，

∴OD∥AC.

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴直線DF與⊙O相切．

(2)解：如圖，連接BE.

∵BD＝2，

∴CD＝BD＝2.

∵CF＝2，

∴DF＝，

∴BE＝2DF＝8.

∵cos∠C＝cos∠ABC，

∴，

∴＝，

∴AB＝10，

∴AE＝＝6.

∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴BE∥GF，

∴△AEB∽△AFG，

∴=，

∴＝ ，

∴BG＝ .