Question

如圖，直線l經過⊙O的圓心O，且與⊙O交于A、B兩點，點C在⊙O上，且∠AOC=30°，點P是直線l上的一個動點（與圓心O不重合），直線CP與⊙O相交于點Q．是否存在點P，使得QP=QO；若存在，求出相應的∠OCP的大小；若不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

分析：點P是直線l上的一個動點，因而點P與線段AO有三種位置關系，在線段AO上，點P在OB上，點P在OA的延長線上．分這三種情況進行討論即可．

解答：解：①根據題意，畫出圖（1），
在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCP，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠AOC=30°，
∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，
在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，
即（∠OCP+30°）+（∠OCP+30°）+∠OCP=180°，
整理得，3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40°．

②當P在線段OA的延長線上（如圖2）
∵OC=OQ，
∴∠OQP=（180°-∠QOC）×

1

2

①，
∵OQ=PQ，
∴∠OPQ=（180°-∠OQP）×

1

2

②，
在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，
把①②代入③得∠QOC=20°，則∠OQP=80°
∴∠OCP=100°；

③當P在線段OA的反向延長線上（如圖3），
∵OC=OQ，
∴∠OCP=∠OQC=（180°-∠COQ）×

1

2

①，
∵OQ=PQ，
∴∠P=（180°-∠OQP）×

1

2

②，
∵∠AOC=30°，
∴∠COQ+∠POQ=150°③，
∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，
①②③④聯(lián)立得
∠P=10°，
∴∠OCP=180°-150°-10°=20°．
故答案為：40°、20°、100°．

點評：本題主要考查了圓的認識及等腰三角形等邊對等角的性質，先假設存在并進行分類討論是進行解題的關鍵．