【題目】正方形中,M為邊CB延長線上一點(diǎn),過點(diǎn)A作直線AM,設(shè)∠BAM,點(diǎn)B關(guān)于直線AM的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E,連接AE、DE,DEAM于點(diǎn)N

1)依題意補(bǔ)全圖形;當(dāng)α=30°時(shí), 直接寫出∠AND的度數(shù);

2)當(dāng)α發(fā)生變化時(shí),∠AND的度數(shù)是否發(fā)生變化?說明理由;

3)探究線段AN,EN,DN的數(shù)量關(guān)系,并證明.

【答案】1)∠AND=45 ° 2)∠AND的度數(shù)不發(fā)生變化,理由見解析;(3DN=.理由見解析.

【解析】

1)依題意補(bǔ)全圖形,由正方形的性質(zhì)得出∠BAD90°,ABAD,由軸對稱的性質(zhì)得出AEAB,∠BAM=∠EAMα30°,得出∠EAD150°AEABAD,由等腰三角形的性質(zhì)得出∠AED=∠ADE15°,即可得出結(jié)果;

2)求出∠EAD90°.由等腰三角形的性質(zhì)得出∠AED=∠ADE45°α.即可得出結(jié)果;

3)過點(diǎn) AAGAM,交DE 于點(diǎn)G,連接BN,由軸對稱的性質(zhì)得出ABAE,∠BAN=∠EAN,證明ABN≌△AEN得出BNEN,∠AED=∠ABN,證出∠ABN=∠ADE,得出∠BAN=∠DAG,證明ABN≌△ADG得出BNDG,ANAG,得出ANG 為等腰直角三角形,ENBNDG,即可得出結(jié)論.

解:(1)依題意補(bǔ)全圖形,如圖1所示:

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠BAD90°,ABAD,

∵點(diǎn)B關(guān)于直線AM的對稱點(diǎn)為點(diǎn)E

AEAB,∠BAM=∠EAMα30°,

∴∠EAD90°30°30°150°AEABAD,

∴∠AED=∠ADE180°150°)=15°,

∴∠AND=∠EAN+∠AED30°15°45°;

2)∠AND的度數(shù)不發(fā)生變化;

理由如下:

∵∠BAM=∠EAMα,

∴∠EAD90°

AEABAD

∴∠AED=∠ADE45°α

∴∠AND=∠EAN+∠AED45°αα45°;

3DNANEN,

理由如下:

過點(diǎn) AAGAM,交DE 于點(diǎn)G,連接BN,如圖2所示:

∵點(diǎn)B 點(diǎn)E關(guān)于直線AM對稱,

ABAE,∠BAN=∠EAN,

ABNAEN中,,

∴△ABN≌△AENSAS),

BNEN,∠AED=∠ABN

∵∠AED=∠ADE,

∴∠ABN=∠ADE,

∵∠BAD=∠GAN90°,

∴∠BAN=∠DAG,

ABNADG中,,

∴△ABN≌△ADGASA),

BNDGANAG,

∴△ANG 為等腰直角三角形,ENBNDG,

NGAN,

DNANEN

練習(xí)冊系列答案
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1)畫線段AB,畫射線BC,畫直線AC

2)過點(diǎn)B畫線段BDAC,垂足為點(diǎn)D;

3)取線段AB的中點(diǎn)E,過點(diǎn)EBD的平行線,交AC于點(diǎn)F

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(1)運(yùn)動(dòng)前線段AB的長為 ,t秒后,A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離可表示為 , B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)距離可表示為

(2)當(dāng)t為何值時(shí),A、B兩點(diǎn)重合,并求出此時(shí)A點(diǎn)所表示的數(shù)(用含有a的式子表示);

(3)在上述運(yùn)動(dòng)的過程中,P為線段AB的中點(diǎn),O為數(shù)軸的原點(diǎn),當(dāng)a=-8時(shí),是否存在這樣的值,使得線段PO=5,若存在,求出符合條件的值;若不存在,請說明理由。

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