Question

如圖，有一種Flash動畫程序，屏幕上圓形區(qū)域表示紅色小動物X，其中，A（3，3），⊙A的半徑為1，用發(fā)射槍沿直線y=x+b發(fā)射子彈，當(dāng)子彈遇到圓形區(qū)域X時，X就由紅變黑．則b的取值范圍為

-

2

≤b≤

2

 時，X能由紅變黑．

Answer 1

分析：解法（一）：如圖所示1，根據(jù)題意知，當(dāng)直線y=x+b與⊙A有公共點(diǎn)時，X就由紅變黑．所以，利用⊙A與直線y=x+b相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式來求b的取值范圍即可．
解法（二）：如圖2所示，過圓心A作AD⊥BD于點(diǎn)D，過點(diǎn)O作OE⊥BD于點(diǎn)E，連接OA．易證四邊形ADEO是矩形，AD=OE=1；然后在等腰直角△EOF中，利用勾股定理求得OF的長度．同理，求得OG的長度．

解答：解法（一）：如圖所示1，當(dāng)直線y=x+b與⊙A相切時，且在⊙A的上方時，則過點(diǎn)A作AD⊥l₁于點(diǎn)D，AD=1．
∵A（3，3），x-y+b=0，
∴AD=

|1×3+(-1)×3+b|

11+(-1)2

=1，即

|b|

2

=1，
解得，b=

2

，或b=-

2

（不合題意，舍去）．
同理，當(dāng)直線y=x+b與⊙A相切時，且在⊙A的下方時，b=-

2

．
則b的取值范圍為-

2

≤b≤

2

；
故答案是：-

2

≤b≤

2

．

解法（二）：如圖2所示，過圓心A作AD⊥BD于點(diǎn)D，過點(diǎn)O作OE⊥BD于點(diǎn)E，連接OA．
則AD∥OE．
∵直線BD的解析式為y=x+b，
∴當(dāng)x=0時，y=b．當(dāng)y=0時，x=-b，
∴OB=OF=|b|，
∴∠OBF=∠OFB=45°．
又∵A（3，3），
∴∠FBO=∠AOC=45°，
∴BD∥OA，
∴四邊形ADEO是矩形，
∴AD=OE．
根據(jù)題意知，直線BD與⊙A相切，則AD=OE=1．
在等腰Rt△EOF中，OE=1，∠EFO=45°，
∴OF=

2

OE=

2

．
同理求得OG=

2

，
∴b的取值范圍是：-

2

≤b≤

2

；
故答案是：-

2

≤b≤

2

．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題、切線的性質(zhì)．解答該題時，解法（一）中，利用了點(diǎn)到直線的距離公式d=

|Ax0+By0+C|

A2+B2

．解法（二）中利用了切線的性質(zhì)、勾股定理等知識．