如圖，E是正方形ABCD的邊BC的中點，F(xiàn)是CD上一點，DF＝3CF．

求證：AE⊥EF．

答案：
解析：

　　證明：連結AF．

　　設CF＝x，則DF＝3x，CD＝4x．

　　∵E是BC的中點，

　　∴AB＝4x，BE＝EC＝2x．

　　在Rt△ABE中，

　　AE2＝AB2＋BE2＝16x2＋4x2＝20x2．

　　在Rt△ADF中，(勾股定理)

　　AF2＝AD2＋DF2＝16x2＋9x2＝25x2．

　　在Rt△ECF中，

　　EF2＝EC2＋CF2＝4x2＋x2＝5x2．

　　∴AE2＋EF2＝20x2＋5x2＝25x2＝AF2，

　　∴△AEF是直角三角形，且∠AEF＝，

　　即AE⊥EF．(勾股定理的逆定理，常用來證明線段垂直)


提示：

點評：此題是勾股定理逆定理的典型應用，通過“計算”的方法，“算”出兩條直線互相垂直．


練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，E是正方形ABCD對角線AC上一點，EF⊥AB，EG⊥BC，F(xiàn)、G是垂足，若正方形ABCD周長為a，則EF+EG等于（　　）
A、
1
4
a
B、
1
2
a
C、a
D、2a

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖①，已知△ABC中，AB=AC，點P是BC上的一點，PN⊥AC于點N，PM⊥AB于點M，CG⊥AB于點G點．
（1）則CG、PM、PN三者之間的數(shù)量關系是
 
；
（2）如圖②，若點P在BC的延長線上，則PM、PN、CG三者是否還有上述關系，若有，請說明理由，若沒有，猜想三者之間又有怎樣的關系，并證明你的猜想；
（3）如圖③，AC是正方形ABCD的對角線，AE=AB，點P是BE上任一點，PN⊥AB于點N，PM⊥AC于點M，猜想PM、PN、AC有什么關系；（直接寫出結論）
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

22、如圖，ABCD是正方形，P是對角線BD上一點，過P點作直線EF、GH分別平行于AB、BC，交兩組對邊于E、F、G、H，則四邊形PEDG，四邊形PHBF都是正方形，四邊形PEAH、四邊形PGCF都是矩形，設正方形PEDG的邊長是a，正方形PHBF的邊長是b． 請動手實踐并得出結論：
（1）請你動手測量一些線段的長后，計算正方形PEDG與正方形PHBF的面積之和以及矩形PEAH與矩形PGCF的面積之和．
（2）你能根據(jù)（1）的結果判斷a2+b2與2ab的大小嗎？
（3）當點P在什么位置時，有a2+b2=2ab？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖四邊形AOBC是正方形，點C的坐標是（4
2
，0），動點P、Q同時從點O出發(fā)，點P沿著折線OACB的方向運動；點Q沿著折線OBCA的方向運動，設運動時間為t．
（1）求出經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式．
（2）若點Q的運動速度是點P的2倍，點Q運動到邊BC上，連接PQ交AB于點R，當AR=3
2
時，請求出直線PQ的解析式．
（3）若點P的運動速度為每秒1個單位長度，點Q的運動速度為每秒2個單位長度精英家教網(wǎng)，兩點運動到相遇停止．設△OPQ的面積為S．請求出S關于t的函數(shù)關系式以及自變量t的取值范圍．
（4）判斷在（3）的條件下，當t為何值時，△OPQ的面積最大？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，AC是正方形ABCD的對角線，點O是AC的中點，點Q是AB上一點，連接CQ，DP⊥CQ于點E，交BC于精英家教網(wǎng)點P，連接OP，OQ；
求證：
（1）△BCQ≌△CDP；
（2）OP=OQ．

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