Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x²+（2k﹣1）x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式；

（2）在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B，使△AOB的面積等于6，求點B的坐標(biāo)；

（3）對于（2）中的點B，在此拋物線上是否存在點P，使∠POB=90°？若存在，求出點P的坐標(biāo)，并求出△POB的面積；若不存在，請說明理由

 

Answer 1

【答案】

(1)y=x²﹣3x；（2）（4，4）；（3）存在，點P 的坐標(biāo)為（2，﹣2），△POB的面積是8.

【解析】

試題分析：（1）將原點坐標(biāo)代入拋物線中即可求出k的值，從而求得拋物線的解析式.

（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式可得出A點的坐標(biāo)，也就求出了OA的長，根據(jù)△OAB的面積可求出B點縱坐標(biāo)的絕對值，然后將符合題意的B點縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出B點的坐標(biāo)，然后根據(jù)B點在拋物線對稱軸的右邊來判斷得出的B點是否符合要求即可.

（3）根據(jù)B點坐標(biāo)可求出直線OB的解析式，由于OB⊥OP，由此可求出P點的坐標(biāo)特點，代入二次函數(shù)解析式可得出P點的坐標(biāo)．求△POB的面積時，求出OB，OP的長度即可求出△BOP的面積.

試題解析：

（1）∵函數(shù)的圖象與x軸相交于O，∴0=k+1，∴k=﹣1.

∴這個二次函數(shù)的解析式為y=x²﹣3x.

（2）如圖，過點B做BD⊥x軸于點D，

令x²﹣3x=0，解得：x=0或3.∴AO=3.

∵△AOB的面積等于6，∴AO•BD=6.∴BD=4.

∵點B在函數(shù)y=x²﹣3x的圖象上，

∴4=x²﹣3x，解得：x=4或x=﹣1（舍去）.

又∵頂點坐標(biāo)為：（ 1.5，﹣2.25），且2.25＜4，

∴x軸下方不存在B點.

∴點B的坐標(biāo)為：（4，4）.

（3）存在.

∵點B的坐標(biāo)為：（4，4），∴∠BOD=45°，.

若∠POB=90°，則∠POD=45°.

設(shè)P點坐標(biāo)為（x，x²﹣3x）.

∴.

若，解得x=4 或x=0（舍去）.此時不存在點P（與點B重合）.

若，解得x=2 或x=0（舍去）.

當(dāng)x=2時，x²﹣3x=﹣2.

∴點P的坐標(biāo)為（2，﹣2）.

∴.

∵∠POB=90°，∴△POB的面積為： PO•BO=××=8.

考點：二次函數(shù)綜合題.