【題目】(1)如圖1,四邊形ABCD中,AB=7,BC=3,ABC=ACD=ADC=45°,求BD的長;

(2)如圖2,在(2)的條件下,當ACD在線段AC的左側時,求BD的長.

【答案】(1);(2) 7-3.

【解析】

(1)在ABC的外部,以A為直角頂點作等腰直角BAE,使∠BAE=90°,AE=AB,連接EA、EB、EC,證明EAC≌△BAD,證明BD=CE,然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解;

(2)在線段AC的右側過點AAEAB于點A,交BC的延長線于點E,證明EAC≌△BAD,證明BD=CE,即可求解.

(1)如圖1,在ABC的外部,以A為直角頂點作等腰直角BAE,使∠BAE=90°,AE=AB,連接EA、EB、EC.

∵∠ACD=ADC=45°,

AC=AD,CAD=90°,

∴∠BAE+BAC=CAD+BAC,即∠EAC=BAD,

EACBAD中,

∴△EAC≌△BAD,

BD=CE.

AE=AB=7,

BE=,ABE=AEB=45°,

又∵∠ABC=45°,

∴∠ABC+ABE=45°+45°=90°,

EC=,

BD=CE=

(3)如圖2,在線段AC的右側過點AAEAB于點A,交BC的延長線于點E,連接BE.

AEAB,

∴∠BAE=90°,

又∵∠ABC=45°,

∴∠E=ABC=45°,

AE=AB=7,BE=

又∵∠ACD=ADC=45°,

∴∠BAE=DAC=90°,

∴∠BAE-BAC=DAC-BAC,即∠EAC=BAD,

EACBAD中,

EAC≌△BAD,

BD=CE,

BC=3,

BD=CE=7-3.

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