已知:如圖,正比例函數(shù)y=ax的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于點(diǎn)A(3,2)
(1)試確定上述正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)根據(jù)圖象信息回答問題:在第一象限內(nèi),當(dāng)x取何值時,反比例函數(shù)的值大于該正比例函數(shù)的值?
(3)M(m,n)是反比例函數(shù)圖象上的一動點(diǎn),其中0<m<3過點(diǎn)M作直線MN∥x軸,交y軸于點(diǎn)B;過點(diǎn)A作直線AC∥y軸交x軸于點(diǎn)C,交直線MB于點(diǎn)D.當(dāng)四邊形OADM的面積為6時,求過點(diǎn)M、A的一次函數(shù)解析式.

【答案】分析:(1)由點(diǎn)A為正比例與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn),將A點(diǎn)坐標(biāo)代入正比例函數(shù)y=ax中,求出a的值,確定出正比例函數(shù)的解析式,將A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=中,求出k的值,確定出反比例函數(shù)的解析式;
(2)由A的橫坐標(biāo)及函數(shù)圖象可得出反比例函數(shù)的值大于該正比例函數(shù)的值時,x的范圍范圍;
(3)過M作MQ垂直于x軸,由M為反比例函數(shù)上的點(diǎn),將M的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式中求出mn=6,同時由三個角的為直角的四邊形為矩形得到四邊形BOCD為矩形,根據(jù)矩形的對邊相等可得出BO=DC,又BMNO為矩形,得到MN=BO,由M的縱坐標(biāo)為n,得到MQ=BO=DC=n,橫坐標(biāo)為m,得到BM=m,由A的坐標(biāo)得出AC及OC的長,四邊形OADM的面積=矩形BOCD的面積-三角形BMO的面積-三角形AOC的面積,利用矩形及三角形的面積公式分別表示出各自的面積,將mn=6及四邊形OADM的面積為6代入,得出關(guān)于n的方程,求出方程的解得到n的值,進(jìn)而求出m的值,即可確定出M的坐標(biāo),設(shè)過M,A的一次函數(shù)解析式為y=kx+b,將A和M的坐標(biāo)代入,得到關(guān)于k與b的方程組,求出方程組的解得到k與b的值,確定出一次函數(shù)解析式.
解答:解:(1)把A(3,2)分別代入y=ax,y=中,
得 2=3a,2=,
∴a=,k=6,
∴正比例函數(shù)的解析式為y=x,反比例函數(shù)的解析式為y=;

(2)由圖象及A(3,2)知:在第一象限內(nèi),當(dāng)0<x<3時,反比例函數(shù)的值大于正比例函數(shù)的值;

(3)過M作MQ⊥x軸于點(diǎn)Q,如圖所示:
∵M(jìn)(m,n)(0<m<3)是反比例函數(shù)圖象上的一動點(diǎn),且四邊形OCDB為矩形,
∴mn=6,BM=m,BO=DC=MQ=n,
又A(3,2),
∴AC=2,OC=3,又mn=6,
∴S四邊形OADM=S矩形OCDB-S△BMO-S△AOC=3n-mn-×2×3=3n-6=6,
解得:n=4,
由mn=6,得到4m=6,解得:m=,
∴M坐標(biāo)為(,4),又A(3,2),
設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b(k≠0),
把M和A代入y=kx+b,得 ,
,
∴一次函數(shù)解析式為y=-x+6.
點(diǎn)評:此題屬于反比例函數(shù)的綜合題,涉及的知識有:反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn),矩形的判定與性質(zhì),利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,以及點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系,利用了數(shù)形結(jié)合及方程的思想,是中考中?嫉念}型.
練習(xí)冊系列答案
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正比例函數(shù)y=x與反比例函數(shù)y=
1x
的圖象交于A、B兩點(diǎn).
(1)求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)根據(jù)圖象求使正比例函數(shù)值大于反比例函數(shù)值的x的范圍.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正比例函數(shù)y1=x,反比例函數(shù)y2=
1
x
,由y1,y2構(gòu)造一個新函數(shù)y=x+
1
x
其圖象如圖所示.(因其圖精英家教網(wǎng)象似雙鉤,我們稱之為“雙鉤函數(shù)”).給出下列幾個命題:
①該函數(shù)的圖象是中心對稱圖形;
②當(dāng)x<0時,該函數(shù)在x=-1時取得最大值-2;
③y的值不可能為1;
④在每個象限內(nèi),函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大.
其中正確的命題是
 
.(請寫出所有正確的命題的序號)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知正比例函數(shù)y=ax(a≠0)的圖象與反比例函致y=
kx
(k≠0)的圖象的一個交點(diǎn)為A(-1,2-k2),另一個交點(diǎn)為B,且A、B關(guān)于原點(diǎn)O對稱,D為OB的中點(diǎn),過點(diǎn)D的線段OB的垂直平分線與x軸、y軸分別交于C、E.
(1)寫出反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的解析式;
(2)試計算△COE的面積是△ODE面積的多少倍?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知正比例函數(shù)y1=x,反比例函數(shù)y2=
1
x
,由y1,y2構(gòu)造一個新函數(shù)y=x+
1
x
,其圖象如圖所示.(因其圖象似雙鉤,我們稱之為“雙鉤函數(shù)”).給出下列幾個命題:
①該函數(shù)的圖象是中心對稱圖形;
②當(dāng)x<0時,該函數(shù)在x=-1時取得最大值-2;
③y的值不可能為1;
④在每個象限內(nèi),函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大.
其中正確的命題是(  )

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過三點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(0,3),它的頂點(diǎn)為M,又正比例函數(shù)y=kx的圖象與二次函數(shù)相交于兩點(diǎn)D、E,且P是線段DE的中點(diǎn).
(1)求該二次函數(shù)的解析式,并求函數(shù)頂點(diǎn)M的坐標(biāo);
(2)已知點(diǎn)E(2,3),且二次函數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)值時,試根據(jù)函數(shù)圖象求出符合條件的自變量x的取值范圍;
(3)當(dāng)k為何值時且0<k<2,求四邊形PCMB的面積為
93
16

(參考公式:已知兩點(diǎn)D(x1,y1),E(x2,y2),則線段DE的中點(diǎn)坐標(biāo)為(
x1+x2
2
,
y1+y2
2
)

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