Question

已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)有雙曲線，另有△ABC，其中點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是A（，），B（，0），C（0，）．
（1）如果將△ABC沿x軸翻折后得到對應(yīng)的△A₁B₁C₁ （其中點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A₁、B₁、C₁），問：△A₁B₁C₁的三個(gè)頂點(diǎn)中，有無在雙曲線上的點(diǎn)？若有，寫出這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）如果將△ABC沿x軸正方向平移a個(gè)單位后，使△ABC的一個(gè)頂點(diǎn)落在雙曲線上，請直接寫出a的值．
（3）如果△ABC關(guān)于原點(diǎn)O的對稱的三角形△A₂B₂C₂（其中點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A₂、B₂、C₂），請寫出經(jīng)過點(diǎn)A、A₂的直線所表示的函數(shù)解析式．

Answer 1

解：（1）根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，可得A₁的坐標(biāo)為（-2，-），B₁的坐標(biāo)為（-2，0），A₁的坐標(biāo)為（0，-），
將三點(diǎn)代入雙曲線y=，只有點(diǎn)A₁，符合解析式，此時(shí)左邊=-，右邊==-，左邊=右邊．
故有在雙曲線上的點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是A₁，它的坐標(biāo)為（-2，-）；

（2）①平移后點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)在雙曲線上，此時(shí)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2+a，），
代入解析式得：=，
解得：a=4；
②平移后點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)在雙曲線上，此時(shí)點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，），
代入解析式得：=，
解得：a=2；
綜上可得a=2或a=4；

（3）點(diǎn)A（-2，）關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)A₂的坐標(biāo)為（2，-），
設(shè)過點(diǎn)A、A2的直線解析式為y=kx+b，則，
解得：，
故直線AA₂的解析式是．
分析：（1）分別將A、B、C三點(diǎn)關(guān)于x軸對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線解析式，看能否滿足解析式，能滿足解析式的點(diǎn)，則該點(diǎn)在雙曲線上；
（2）因?yàn)殡p曲線與x軸沒交點(diǎn)，所以移動(dòng)后只可能是A或C的對應(yīng)點(diǎn)在雙曲線上，分別討論即可得出答案；
（3）根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，求出點(diǎn)A₂的坐標(biāo)，然后運(yùn)用待定系數(shù)法求解析式即可．
點(diǎn)評(píng)：本題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)、函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，綜合性較強(qiáng)，但難度一般，解答本題的關(guān)鍵是將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．