【題目】如圖,二次函數(shù)的圖像與軸交于點(diǎn),(在左側(cè)),與軸正半軸交于點(diǎn),點(diǎn)在拋物線上,軸,且.
(1)求點(diǎn),的坐標(biāo)及的值;
(2)點(diǎn)為軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn).
①如圖①,若平分,交于點(diǎn),求點(diǎn)的坐標(biāo);
②如圖②,拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,直線交軸于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,若,求點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1),,;(2)①;②或.
【解析】
(1)令y=0,解方程即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo),由此可求得AB的長(zhǎng)及對(duì)稱軸,再根據(jù)即可求得OD長(zhǎng),根據(jù)對(duì)稱軸即可求得CD=6,再根據(jù)勾股定理即可求得點(diǎn)C坐標(biāo),將點(diǎn)C坐標(biāo)代入函數(shù)關(guān)系式從而可求得a的值;
(2)①作于,根據(jù)平分可得,進(jìn)而設(shè),根據(jù)可得方程求解即可求得點(diǎn)E坐標(biāo)為,再用待定系數(shù)法求得直線OP的函數(shù)關(guān)系式,與二次函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立方程組即可求得點(diǎn)P坐標(biāo);
②分兩種情形(Ⅰ)若點(diǎn)在點(diǎn)上方,如圖②,(Ⅱ)若點(diǎn)在點(diǎn)下方,如圖③,分別列出方程即可解決.
解:(1)令,則
,
∴,,
∴,.
∴,拋物線的對(duì)稱軸為直線,
∵
∴,
∵點(diǎn)C在y軸上且軸,
∴,,
∴,
∴點(diǎn),
∴,
∴.
(2)①作于,
∵平分,,,
∴,
設(shè),
∵,
∴,
∴,
∴
設(shè)對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為,
把代入,得,
∴對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為.
∵,
∴二次函數(shù)表達(dá)式為,
∴,
解得或(舍去)
∴點(diǎn).
②∵當(dāng)時(shí),,∴點(diǎn).
設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為
把點(diǎn)、點(diǎn)代入,
得
解得
∴直線的函數(shù)表達(dá)式為,
∴點(diǎn),
∴.
∵,
∴,
∴.
(Ⅰ)若點(diǎn)在點(diǎn)上方,如圖②.
過(guò)點(diǎn)作軸的平行線,交軸于點(diǎn).
∵,
∴軸,
∵軸,
∴點(diǎn)與點(diǎn)重合,,
∴,
∴,
∴設(shè),,
∵軸,
∴,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴或(舍去),
∴.
把代入
得,.
∴.
(Ⅱ)若點(diǎn)在點(diǎn)下方,如圖③.
過(guò)點(diǎn)作軸,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為,交軸于點(diǎn).
∴,
∴四邊形是正方形,
∴
∵軸,
∴,,
∴,
∴設(shè),,
∵,,
∴,
又∵,
∴,
∴
∴,,
∴,,
∴,
代入,得
,
∴(舍去),,
∴,
代入得
,
∴.
綜上所述,或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在矩形中,為的中點(diǎn),一塊足夠大的三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)重合,將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn),三角板的兩直角邊分別交或它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn),設(shè),下列四個(gè)結(jié)論:①;②; ③;④,正確的個(gè)數(shù)是( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了解全校學(xué)生對(duì)電視節(jié)目的喜愛(ài)情況(新聞、體育、動(dòng)畫(huà)、娛樂(lè)、戲曲),從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,并把調(diào)查結(jié)果繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
(1)這次被調(diào)查的學(xué)生共有多少人?
(2)請(qǐng)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)若該校約有1500名學(xué)生,估計(jì)全校學(xué)生中喜歡娛樂(lè)節(jié)目的有多少人?
(4)該校廣播站需要廣播員,現(xiàn)決定從喜歡新聞節(jié)目的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中選取2名,求恰好選中甲、乙兩位同學(xué)的概率(用樹(shù)狀圖或列表法解答)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線與直線都經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn),該拋物線的頂點(diǎn)為C.
(1)求此拋物線和直線的解析式;
(2)設(shè)直線與該拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E,在射線上是否存在一點(diǎn)M,過(guò)M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N,使點(diǎn)M、N、C、E是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)?若存在,求點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)設(shè)點(diǎn)P是直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)面積最大時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo),并求面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】初三(1)班針對(duì)“垃圾分類”知曉情況對(duì)全班學(xué)生進(jìn)行專題調(diào)查活動(dòng),對(duì)“垃圾分類”的知曉情況分為、、、四類.其中,類表示“非常了解”,類表示“比較了解”,類表示“基本了解”,類表示“不太了解”,每名學(xué)生可根據(jù)自己的情況任選其中一類,班長(zhǎng)根據(jù)調(diào)查結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),并繪制成了不完整的條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖.
“垃圾分類”知曉情況各類別人數(shù)條形統(tǒng)計(jì)圖 “垃圾分類”知曉情況各類別人數(shù)扇形統(tǒng)計(jì)圖
根據(jù)以上信息解決下列問(wèn)題:
(1)初三(1)班參加這次調(diào)查的學(xué)生有______人,扇形統(tǒng)計(jì)圖中類別所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)為______°;
(2)求出類別的學(xué)生數(shù),并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(3)類別的4名學(xué)生中有2名男生和2名女生,現(xiàn)從這4名學(xué)生中隨機(jī)選取2名學(xué)生參加學(xué)校“垃圾分類”知識(shí)競(jìng)賽,請(qǐng)用列舉法(畫(huà)樹(shù)狀圖或列表)求所選取的2名學(xué)生中恰好有1名男生、1名女生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了扎實(shí)推進(jìn)精準(zhǔn)扶貧工作,某市出臺(tái)了民生兜底、醫(yī)保脫貧、教育教助、產(chǎn)業(yè)扶持、養(yǎng)老托管和易地搬遷這六種幫扶措施,每戶貧困戶都享受了2到5種幫扶措施,現(xiàn)把享受了2種、3種、4種和5種幫扶措施的貧困戶分別稱為類貧困戶。為檢查幫扶措施是否落實(shí),隨機(jī)抽取了若干貧困戶進(jìn)行調(diào)查,現(xiàn)將收集的數(shù)據(jù)繪制成下面兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖:
請(qǐng)根據(jù)圖中信息回答下面的問(wèn)題:
(1)本次抽樣調(diào)查了多少戶貧困戶;
(2)抽查了多少戶類貧困戶?并補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖;
(3)若該地共有1300戶貧困戶,請(qǐng)估計(jì)至少得到4項(xiàng)幫扶措施的大約有多少戶;
(4)為更好地做好精準(zhǔn)扶貧工作,現(xiàn)準(zhǔn)備從類貧困戶中的甲、乙、丙、丁四戶中隨機(jī)選取兩戶進(jìn)行重點(diǎn)幫扶,請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表法求出恰好選中甲和丁的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,Rt△AOB中,∠AOB=90°,頂點(diǎn)A,B分別在反比例函數(shù)y=(x>0)與y=(x<0)的圖象上,則tan∠BAO的值為 ____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)交軸于A、B兩點(diǎn),(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))與y軸交于點(diǎn)C,連接AC.
(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)D為第四象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,△BCD的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;
(3)拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△BCP為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線經(jīng)過(guò)A(-5,0),兩點(diǎn),連接AB,BO.
(1)求拋物線表達(dá)式;
(2)點(diǎn)C是第三象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若△AOC與△AOB全等,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C坐標(biāo)______;
(3)若點(diǎn)D從點(diǎn)O出發(fā)沿線段OA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度,同時(shí)線段OA上另一個(gè)點(diǎn)H從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AO向點(diǎn)O作勻速運(yùn)動(dòng),速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度(當(dāng)點(diǎn)H到達(dá)點(diǎn)O時(shí),點(diǎn)D也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)).過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線,與直線OB交于點(diǎn)E,延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F,使得EF=DE,以DF為邊,在DF左側(cè)作等邊三角形DGF(當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)G、點(diǎn)F也隨之運(yùn)動(dòng)).過(guò)點(diǎn)H作x軸的垂線,與直線AB交于點(diǎn)L,延長(zhǎng)HL到點(diǎn)M,使得LM=HL,以HM為邊,在HM的右側(cè)作等邊三角形HMN(當(dāng)點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)M、點(diǎn)N也隨之運(yùn)動(dòng)).當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)t秒時(shí),△DGF有一條邊所在直線恰好過(guò)△HMN的重心,直接寫(xiě)出此刻t的值.
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