已知二次函數(shù)y=ax2+4ax+4a-1的圖象是C1
(1)求C1關(guān)于點(diǎn)R(1,0)中心對稱的圖象C2的函數(shù)解析式;
(2)在(1)的條件下,設(shè)拋物線C1、C2與y軸的交點(diǎn)分別為A、B,當(dāng)AB=18時(shí),求a的值.
【答案】分析:(1)因?yàn)镃1和C2關(guān)于點(diǎn)R(1,0)中心對稱,所以它們的頂點(diǎn)也中心對稱.先求出y=ax2+4ax+4a-1的頂點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)中心對稱的定義求出C2的頂點(diǎn)坐標(biāo),便可進(jìn)一步求出C2的函數(shù)解析式;
(2)把x=0代入解析式即可得到A、B點(diǎn)的縱坐標(biāo),將縱坐標(biāo)相減,其差的絕對值即為18,可列出等式求出a的值.
解答:解:(1)由y=a(x+2)2-1,可知拋物線C1的頂點(diǎn)為M(-2,-1).
由圖知點(diǎn)M(-2,-1)關(guān)于點(diǎn)R(1,0)中心對稱的點(diǎn)為N(4,1),
以N(4,1)為頂點(diǎn),與拋物線C1關(guān)于點(diǎn)R(1,0)中心對稱的圖象C2也是拋物線,
且C1與C2的開口大小相同且方向相反,
故拋物線C2的函數(shù)解析式為y=-a(x-4)2+1,
即y=-ax2+8ax-16a+1.(3分)

(2)令x=0,
得拋物線C1、C2與y軸的交點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)分別為4a-1和-16a+1.
∴AB=|(4a-1)-(-16a+1)|=|20a-2|.
∴|20a-2|=18.
當(dāng)時(shí),有20a-2=18,得a=1;
當(dāng)a<時(shí),有2-20a=18,得.(7分)
點(diǎn)評:此題將中心對稱的問題與二次函數(shù)解析式相結(jié)合,同時(shí)考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及坐標(biāo)軸上點(diǎn)的距離公式,特別是(2)還涉及到分類討論思想,是一道好題.
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x-0.1-0.2-0.3-0.4
y=ax2+bx+c-0.58-0.120.380.92

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(B)函數(shù)y=ax²+bx+c(c ≠0)的最小值是 -4

(C)-1和3是方程ax²+bx+c=0(c ≠0)的兩個根

(D)當(dāng)x<1時(shí),y隨x的增大而增大

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