Question

（2012•老河口市模擬）如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D，過點D作DE⊥AC，垂足為E，延長AB、ED交于點F，AD平分∠BAC．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AE=3，AB=4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）根據等腰三角形性質和角平分線性質得出∠OAD=∠ODA=∠DAE，推出OD∥AC，推出OD⊥EF，根據切線的判定推出即可；
（2）證△BAD∽△DAE，求出AD長，根據銳角三角函數的定義求出∠BAD=30°，求出∠BOD=60°和求出BD=2=OB=OD，求出扇形BOD和△BOD的面積，相減即可．

解答：解：（1）連接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=90°，
∴∠ODF=∠DEA=90°，
∵OD是半徑，
∴EF是⊙O的切線．
（2）∵AB為⊙O的直徑，DE⊥AC，
∴∠BDA=∠DEA=90°，
∵∠BAD=∠CAD，
∴△BAD∽△DAE，
∴

AB

AD

=

AD

AE

，
即

4

AD

=

AD

3

，
∴AD=2

3

，
∴cos∠BAD=

AD

AB

=

2 3

4

=

3

2

，
∴∠BAD=30°，∠BOD=2∠BAD=60°，
∴BD=

1

2

AB=2，
∴S_△BOD=

1

2

S_△ABD=

1

2

×

1

2

×2

3

×2=

3

，
∴S_陰影=S_扇形BOD-S_△BOD=

60π×22

360

-

3

=

2

3

π-

3

．

點評：本題考查了銳角三角函數的定義，等腰三角形的性質，平行線的性質和判定，切線的判定，三角形的面積，扇形的面積計算等知識點，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力，綜合性比較強，有一定的難度．