【題目】如圖,已知直線軸交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),拋物線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn)并與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為,且.

1)求拋物線的解析式;

2)點(diǎn)為直線上方對(duì)稱軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn),當(dāng)的面積為時(shí),求點(diǎn)的坐標(biāo);

3)在(2)的條件下,連接,作軸于,連接、,點(diǎn)為線段上一點(diǎn),點(diǎn)為線段上一點(diǎn),滿足,過(guò)點(diǎn)軸于點(diǎn),連接,當(dāng)時(shí),求的長(zhǎng).

【答案】1;(2R3,3);(31

【解析】

1)求出A、B、C的坐標(biāo),把A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式,解方程組即可得出結(jié)論;

2)設(shè)Rt,).作RKy軸于K,RWx軸于W,連接OR

根據(jù)計(jì)算即可;

3)在RH上截取RM=OA,連接CM、AMAMPEG,作QFOBH.分兩種情況討論:①點(diǎn)EF的左邊;②點(diǎn)EF的右邊.

1)當(dāng)x=0時(shí)y=3,

C0,3),

OC=3

OC=3OA,

OA=1,

A-1,0).

當(dāng)y=0時(shí)x=4,

B4,0).

A、B坐標(biāo)代入得解得:,

∴拋物線的解析式為

2)設(shè)Rt,).

RKy軸于K,RWx軸于W,連接OR

,(舍去),,

R3,3).

3)在RH上截取RM=OA,連接CM、AMAMPEG,作QFOBH

分兩種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)EF的左邊時(shí),如圖1

CR=CO,∠CRM=COA,

∴△CRM≌△COA,

CM=CA,∠RCM=OCA,

∴∠ACM=OCR=90°,

∴∠CAM=CMA=45°.

ACPE,

∴∠CAM=AGE=45°.

∵∠PEQ=45°,

∴∠AGE=PEQ,

AMEQ,

∴∠MAH=QEF

∵∠QFE=MHA=90°,

∴△QEF∽△MAH,

OA=1,OH=3,MH=RH-RM=3-1=2,

AH=AO+OH=4,

EF=2QF

設(shè)CP=m

QH=CP=m

OC=OH,

∴∠OHC=45°,

QF=FH=m

EF=2m,

EH=3m

ACPE為平行四邊形,

AE=CP=m

EH=AH-AE=4-m,

3m=4-m,

m=1,

CP=1

②當(dāng)點(diǎn)EF的右邊時(shí),設(shè)AMQEN.如圖2

CR=CO,∠CRM=COA,

∴△CRM≌△COA,

CM=CA,∠RCM=OCA,

∴∠ACM=OCR=90°,

∴∠CAM=CMA=45°.

ACPE,

∴∠CAM=AGE=45°.

∵∠PEQ=45°,

∴∠AGE=PEQ=45°,

∴∠ENG=ENA=90°.

∵∠EQF+QEF=90°,∠EAN+QEF=90°,

∴∠EQF=MAB

∵∠QFE=AHM=90°,

∴△QEF∽△AMH,

,

QF=2EF

設(shè)CP=m

QH=CP=m

OC=OH,

∴∠OHC=45°,

QF=FH=m,

EF=m,

EH=m

ACPE為平行四邊形,

AE=CP=m

EH=AH-AE=4-m,

4-m=m

m=,

CP=

綜上所述:CP的值為1

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