Question

（2009•眉山）如圖，已知直線y=x+1與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)D，拋物線y=x²+bx+c與直線交于A、E兩點(diǎn)，與x軸交于B、C兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）動點(diǎn)P在x軸上移動，當(dāng)△PAE是直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)P；
（3）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)M，使|AM-MC|的值最大，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）易得點(diǎn)A（0，1），那么把A，B坐標(biāo)代入y=x²+bx+c即可求得函數(shù)解析式；
（2）讓直線解析式與拋物線的解析式結(jié)合即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)．△PAE是直角三角形，應(yīng)分點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)A是直角頂點(diǎn)，點(diǎn)E是直角頂點(diǎn)三種情況探討；
（3）易得|AM-MC|的值最大，應(yīng)找到C關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)B，連接AB交對稱軸的一點(diǎn)就是M．應(yīng)讓過AB的直線解析式和對稱軸的解析式聯(lián)立即可求得點(diǎn)M坐標(biāo)．
解答：解：（1）將A（0，1）、B（1，0）坐標(biāo)代入y=x²+bx+c
得，
解得，
∴拋物線的解折式為y=x²-x+1；（2分）

（2）設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為m，則它的縱坐標(biāo)為m²-m+1，
即E點(diǎn)的坐標(biāo)（m，m²-m+1），
又∵點(diǎn)E在直線y=x+1上，
∴m²-m+1=m+1
解得m₁=0（舍去），m₂=4，
∴E的坐標(biāo)為（4，3）．（4分）
（Ⅰ）當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時，
過A作AP₁⊥DE交x軸于P₁點(diǎn)，設(shè)P₁（a，0）易知D點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，0），
由Rt△AOD∽Rt△P₁OA得
即，
∴a=，
∴P₁（，0）．（5分）
（Ⅱ）同理，當(dāng)E為直角頂點(diǎn)時，過E作EP₂⊥DE交x軸于P₂點(diǎn)，
由Rt△AOD∽Rt△P₂ED得，
即=，
∴EP₂=，
∴DP₂==
∴a=-2=，
P₂點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）．（6分）
（Ⅲ）當(dāng)P為直角頂點(diǎn)時，過E作EF⊥x軸于F，設(shè)P₃（b、0），
由∠OPA+∠FPE=90°，得∠OPA=∠FEP，Rt△AOP∽Rt△PFE，
由得，
解得b₁=3，b₂=1，
∴此時的點(diǎn)P₃的坐標(biāo)為（1，0）或（3，0），（8分）
綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（1，0）或（3，0）或（，0）；

（3）拋物線的對稱軸為，（9分）
∵B、C關(guān)于x=對稱，
∴MC=MB，
要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大，
由三角形兩邊之差小于第三邊得，當(dāng)A、B、M在同一直線上時|AM-MB|的值最大．（10分）
易知直線AB的解折式為y=-x+1
∴由，
得，
∴M（，-）．（11分）
點(diǎn)評：一個三角形是直角三角形，應(yīng)分不同頂點(diǎn)為直角等多種情況進(jìn)行分析；
求兩條線段和或差的最值，都要考慮做其中一點(diǎn)關(guān)于所求的點(diǎn)在的直線的對稱點(diǎn)．