Question

【題目】如圖1，頂角為36°的等腰三角形稱為銳角黃金三角形．它的底與腰之比為≈0.618，記為k.受此啟發(fā)，八年級(jí)數(shù)學(xué)課題組探究底角為36°的等腰三角形，也稱鈍角黃金三角形，如圖2．

(1)在圖1和圖2中，若DE=BC，求證：EF=AB；

(2)求鈍角黃金三角形底與腰的比值(用含k的式子表示)；

(3)如圖3，在鈍角黃金三角形ABC中，AD，DE依次分割出鈍角黃金三角形△ADC，△ADE．若AB＝1，記△ABC，△ADC，△ADE分別為第1，2，3個(gè)鈍角黃金三角形，以此類推，求第2020個(gè)鈍角黃金三角形的周長(zhǎng)(用含k的式子表示).

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）鈍角黃金三角形底與腰的比值為；（3）第2020個(gè)鈍角黃金三角形的周長(zhǎng)為：.

【解析】

（1）如圖（見解析），作的角平分線BH，交AC于點(diǎn)H，通過三角形全等的判定定理證得，再根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可得；

（2）如圖（見解析），延長(zhǎng)ED使得，連接GF，由k的定義知，再證是等腰三角形，則有，從而可得的值，即為所求；

（3）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，求出前幾個(gè)三角形的周長(zhǎng)，進(jìn)而找出規(guī)律，即可求出答案.

（1）如圖，作的角平分線BH，交AC于點(diǎn)H

是等腰三角形，且頂角

又是等腰三角形，且底角

在和中，

；

（2）如圖，延長(zhǎng)ED使得，連接GF

是等腰三角形，且

（等角對(duì)等邊）

故鈍角黃金三角形底與腰的比值為；

（3）由題意得：

根據(jù)題（2）的結(jié)論可得：，解得

則第1個(gè)鈍角黃金三角形的周長(zhǎng)為

在和中，

即第1個(gè)鈍角黃金三角形與第2個(gè)鈍角黃金三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，比例為

則第2個(gè)鈍角黃金三角形的周長(zhǎng)為：

同理可得：第3個(gè)鈍角黃金三角形的周長(zhǎng)為：

依此類推，第2020個(gè)鈍角黃金三角形的周長(zhǎng)為：.