【題目】如圖所示,已知直線y=kx+m與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn),拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn),點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn),當(dāng)x=﹣時(shí),y取最大值.
(1)求拋物線和直線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn),且S△ABP:S△BPC=1:3,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若直線y=x+a與(1)中所求的拋物線交于M、N兩點(diǎn),問(wèn):
①是否存在a的值,使得∠MON=90°?若存在,求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
②猜想當(dāng)∠MON>90°時(shí),a的取值范圍(不寫過(guò)程,直接寫結(jié)論).
【答案】(1)y=﹣x2﹣x+6,y=2x+6;(2)點(diǎn)P(﹣ , )或P(﹣,﹣3);(3)①a=﹣3或a=,②﹣3<a<
【解析】
(1)先根據(jù)直線的解析式求出A、C的坐標(biāo),然后將A、C的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式,進(jìn)而可根據(jù)拋物線的解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊比,因此兩三角形的面積比實(shí)際是AP:PC=1:3,即3AP=PC,可先求出AC的長(zhǎng),然后分情況討論:
①當(dāng)P在線段AC上時(shí),AP+PC=AC,3AP=PC,據(jù)此可求出AP的長(zhǎng),然后根據(jù)∠CAB的三角函數(shù)值或通過(guò)構(gòu)建相似三角形可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
②當(dāng)P在CA的延長(zhǎng)線上時(shí),CP﹣AP=AC,3AP=PC,據(jù)此可求出AP的長(zhǎng),后面同①.
(3)①設(shè)直線y= x+a與拋物線y=﹣x2﹣x+6的交點(diǎn)為M(xM,yM),N(xN,yN)(M在N左側(cè)),由Rt△MM′O∽Rt△ON′N,推出 ,即MM′NN′=ON′OM′,推出﹣xMxN=yMyN,由方程組消去y整理,得:x2+ x+a﹣6=0,再利用根與系數(shù)關(guān)系,列出方程即可解決問(wèn)題.
②利用①的結(jié)果即可判斷.
解:(1)當(dāng)x=0時(shí),y=6,
∴C(0,6),
當(dāng)y=0時(shí),x=﹣3,
∴A(﹣3,0),
∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C,
∴,
解得:.
∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+6,
當(dāng)y=0時(shí),整理得x2+x﹣6=0,
解得:x1=2,x2=﹣3,
∴點(diǎn)B(2,0).
(2)過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC,D為垂足,
∵S△ABP:S△BPC=1:3,
∴= ,
∴AP:PC=1:3
由勾股定理,得AC==3 ,
當(dāng)點(diǎn)P為線段AC上一點(diǎn)時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸,點(diǎn)H為垂足,
∵PH∥OC,
∴ = ,
∴PH= ,
∴ =2x+6,
∴x=﹣ ,
∴點(diǎn)P(﹣ , )
當(dāng)點(diǎn)P在CA延長(zhǎng)線時(shí),作PG⊥x軸,點(diǎn)G為垂足
∵AP:PC=1:3
∴AP:AC=1:2,
∴=,
∴PG=3,
∴﹣3=2x+6
x=﹣,
∴點(diǎn)P(﹣,﹣3).
(3)①存在a的值,使得∠MON=90°,
設(shè)直線y=x+a與拋物線y=﹣x2﹣x+6的交點(diǎn)為M(xM,yM),N(xN,yN)(M在N左側(cè))
則 為方程組 的解
分別過(guò)點(diǎn)M、N作MM’⊥x軸,NN′⊥x軸,點(diǎn)M、N為垂足.
∴M′(xM,0),N′(xN,0),
∴OM′=﹣xMON′=xN
∵∠MON=90°,
∴∠MOM′+∠NON′=90°,
∵∠M′MO+∠MOM′=90°,
∴∠M’MO=∠NON’
∴Rt△MM′O∽Rt△ON′N,
∴,
∴MM′NN′=ON′OM′,
∴﹣xMxN=yMyN,
由方程組消去y整理,得:x2+x+a﹣6=0.
∴xM、xN是方程x2+x+a﹣6=0的兩個(gè)根,
由根與系數(shù)關(guān)系得,xM+xN=﹣,xMxN=a﹣6
又∵yMyN=( xM+a)( xN+a)=xMxN+(xM+xN)+a2=(a﹣6)﹣a+a2
∴﹣(a﹣6)=(a﹣6)﹣a+a2,
整理,得2a2+a﹣15=0
解得a1=﹣3,a2=,
∴存在a值,使得∠MON=90°,其值為a=﹣3或a=.
②由①可知,當(dāng)∠MON>90°時(shí),a的取值范圍為﹣3<a<.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線L:y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點(diǎn).與y軸交于C點(diǎn).且A(﹣1,0),OB=OC=3OA.
(1)求拋物線L的函數(shù)表達(dá)式;
(2)在拋物線L的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M,使△ACM周長(zhǎng)最?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)連接AC、BC,在拋物線L上是否存在一點(diǎn)N,使S△ABC=2S△OCN?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將兩塊斜邊長(zhǎng)相等的等腰直角三角板按如圖①擺放,斜邊AB分別交CD,CE于M,N點(diǎn).
(1)如果把圖①中的△BCN繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF,連接FM,如圖②,求證:△CMF≌△CMN;
(2)將△CED繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),則:
①當(dāng)點(diǎn)M,N在AB上(不與點(diǎn)A,B重合)時(shí),線段AM,MN,NB之間有一個(gè)不變的關(guān)系式,請(qǐng)你寫出這個(gè)關(guān)系式,并說(shuō)明理由;
②當(dāng)點(diǎn)M在AB上,點(diǎn)N在AB的延長(zhǎng)線上(如圖③)時(shí),①中的關(guān)系式是否仍然成立?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A(﹣3,0),B(0,3),且其對(duì)稱軸為直線x=﹣1.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的動(dòng)點(diǎn)(不包括點(diǎn)A,點(diǎn)B),求△PAB的面積的最大值,并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖:二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象所示,下列結(jié)論中:①abc>0;②2a+b=0;③當(dāng)m≠1時(shí),a+b>am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,則x1+x2=2,正確的個(gè)數(shù)為( 。
A. 4個(gè)B. 3個(gè)C. 2個(gè)D. 1個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某市為了解旅游人數(shù)的變化情況,收集并整理了2017年1月至2019年12月期間的月接待旅游量(單位:萬(wàn)人次)的數(shù)據(jù)并繪制了統(tǒng)計(jì)圖如下:
根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,下列推斷不合理的是( )
A.2017年至2019年,年接待旅游量逐年增加
B.2017年至2019年,各年的月接待旅游量高峰期大致在7,8月份
C.2019年的月接待旅游量的平均值超過(guò)300萬(wàn)人次
D.2017年至2019年,各年下半年(7月至12月)的月接待旅游量相對(duì)于上半年(1月至6月)波動(dòng)性更小,變化比較平穩(wěn)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,B是的半徑OA上的一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),過(guò)點(diǎn)B作OA的垂線交于點(diǎn)C,D,連接OD,E是上一點(diǎn),,過(guò)點(diǎn)C作的切線l,連接OE并延長(zhǎng)交直線l于點(diǎn)F.
(1)①依題意補(bǔ)全圖形.
②求證:∠OFC=∠ODC.
(2)連接FB,若B是OA的中點(diǎn),的半徑是4,求FB的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地質(zhì)量監(jiān)管部門對(duì)轄區(qū)內(nèi)的甲、乙兩家企業(yè)生產(chǎn)的某同類產(chǎn)品進(jìn)行檢查,分別隨機(jī)抽取了50件產(chǎn)品并對(duì)某一項(xiàng)關(guān)鍵質(zhì)量指標(biāo)做檢測(cè),獲得了它們的質(zhì)量指標(biāo)值s,并對(duì)樣本數(shù)據(jù)(質(zhì)量指標(biāo)值s)進(jìn)行了整理、描述和分析.下面給出了部分信息.
a.該質(zhì)量指標(biāo)值對(duì)應(yīng)的產(chǎn)品等級(jí)如下:
質(zhì)量指標(biāo)值 | |||||
等級(jí) | 次品 | 二等品 | 一等品 | 二等品 | 次品 |
說(shuō)明:等級(jí)是一等品,二等品為質(zhì)量合格(其中等級(jí)是一等品為質(zhì)量?jī)?yōu)秀).
等級(jí)是次品為質(zhì)量不合格.
b.甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表如下(不完整).
c.乙企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如下.
甲企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布表
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
2 | 0.04 | |
m | ||
32 | n | |
0.12 | ||
0 | 0.00 | |
合計(jì) | 50 | 1.00 |
乙企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖
d.兩企業(yè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差、方差如下:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 眾數(shù) | 極差 | 方差 | |
甲企業(yè) | 31.92 | 32.5 | 34 | 15 | 11.87 |
乙企業(yè) | 31.92 | 31.5 | 31 | 20 | 15.34 |
根據(jù)以上信息,回答下列問(wèn)題:
(1)m的值為_(kāi)_______,n的值為_(kāi)_______.
(2)若從甲企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件,估計(jì)該產(chǎn)品質(zhì)量合格的概率為_(kāi)_______;若乙企業(yè)生產(chǎn)的某批產(chǎn)品共5萬(wàn)件,估計(jì)質(zhì)量?jī)?yōu)秀的有________萬(wàn)件;
(3)根據(jù)圖表數(shù)據(jù),你認(rèn)為_(kāi)_______企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品質(zhì)量較好,理由為______________.(從某個(gè)角度說(shuō)明推斷的合理性)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC,使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在邊AB上,點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E,連接BE,下列四個(gè)結(jié)論:1. AC=AD 2. AB⊥EB 3.BC=EC 4.∠A=∠EBC其中一定正確的是( )
A.1 2B.2 3C.3 4D.2 3 4
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