Question

【題目】如圖所示，已知直線y＝kx+m與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)B是拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)x＝﹣時(shí)，y取最大值．

（1）求拋物線和直線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P是直線AC上一點(diǎn)，且S△ABP：S△BPC＝1：3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若直線y＝x+a與（1）中所求的拋物線交于M、N兩點(diǎn)，問(wèn)：

①是否存在a的值，使得∠MON＝90°？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②猜想當(dāng)∠MON＞90°時(shí)，a的取值范圍（不寫過(guò)程，直接寫結(jié)論）．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+6，y＝2x+6；（2）點(diǎn)P（﹣ ， ）或P（﹣，﹣3）；（3）①a＝﹣3或a＝，②﹣3＜a＜

【解析】

（1）先根據(jù)直線的解析式求出A、C的坐標(biāo)，然后將A、C的坐標(biāo)代入拋物線中即可求出拋物線的解析式，進(jìn)而可根據(jù)拋物線的解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）根據(jù)等高三角形的面積比等于底邊比，因此兩三角形的面積比實(shí)際是AP：PC＝1：3，即3AP＝PC，可先求出AC的長(zhǎng)，然后分情況討論：

①當(dāng)P在線段AC上時(shí)，AP+PC＝AC，3AP＝PC，據(jù)此可求出AP的長(zhǎng)，然后根據(jù)∠CAB的三角函數(shù)值或通過(guò)構(gòu)建相似三角形可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

②當(dāng)P在CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，CP﹣AP＝AC，3AP＝PC，據(jù)此可求出AP的長(zhǎng)，后面同①．

（3）①設(shè)直線y＝ x+a與拋物線y＝﹣x2﹣x+6的交點(diǎn)為M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左側(cè)），由Rt△MM′O∽Rt△ON′N，推出 ，即MM′NN′＝ON′OM′，推出﹣xMxN＝yMyN，由方程組消去y整理，得：x2+ x+a﹣6＝0，再利用根與系數(shù)關(guān)系，列出方程即可解決問(wèn)題．

②利用①的結(jié)果即可判斷．

解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝6，

∴C（0，6），

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣3，

∴A（﹣3，0），

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、C，

∴，

解得：．

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+6，

當(dāng)y＝0時(shí)，整理得x2+x﹣6＝0，

解得：x1＝2，x2＝﹣3，

∴點(diǎn)B（2，0）．

（2）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，

∵S△ABP：S△BPC＝1：3，

∴＝ ，

∴AP：PC＝1：3

由勾股定理，得AC＝＝3 ，

當(dāng)點(diǎn)P為線段AC上一點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，點(diǎn)H為垂足，

∵PH∥OC，

∴ ＝ ，

∴PH＝ ，

∴ ＝2x+6，

∴x＝﹣ ，

∴點(diǎn)P（﹣ ， ）

當(dāng)點(diǎn)P在CA延長(zhǎng)線時(shí)，作PG⊥x軸，點(diǎn)G為垂足

∵AP：PC＝1：3

∴AP：AC＝1：2，

∴＝，

∴PG＝3，

∴﹣3＝2x+6

x＝﹣，

∴點(diǎn)P（﹣，﹣3）．

（3）①存在a的值，使得∠MON＝90°，

設(shè)直線y＝x+a與拋物線y＝﹣x2﹣x+6的交點(diǎn)為M（xM，yM），N（xN，yN）（M在N左側(cè)）

則 為方程組 的解

分別過(guò)點(diǎn)M、N作MM’⊥x軸，NN′⊥x軸，點(diǎn)M、N為垂足．

∴M′（xM，0），N′（xN，0），

∴OM′＝﹣xMON′＝xN

∵∠MON＝90°，

∴∠MOM′+∠NON′＝90°，

∵∠M′MO+∠MOM′＝90°，

∴∠M’MO＝∠NON’

∴Rt△MM′O∽Rt△ON′N，

∴，

∴MM′NN′＝ON′OM′，

∴﹣xMxN＝yMyN，

由方程組消去y整理，得：x2+x+a﹣6＝0．

∴xM、xN是方程x2+x+a﹣6＝0的兩個(gè)根，

由根與系數(shù)關(guān)系得，xM+xN＝﹣，xMxN＝a﹣6

又∵yMyN＝（ xM+a）（ xN+a）＝xMxN+（xM+xN）+a2＝（a﹣6）﹣a+a2

∴﹣（a﹣6）＝（a﹣6）﹣a+a2，

整理，得2a2+a﹣15＝0

解得a1＝﹣3，a2＝，

∴存在a值，使得∠MON＝90°，其值為a＝﹣3或a＝．

②由①可知，當(dāng)∠MON＞90°時(shí)，a的取值范圍為﹣3＜a＜．