【題目】如圖,B是的半徑OA上的一點(不與端點重合),過點B作OA的垂線交于點C,D,連接OD,E是上一點,,過點C作的切線l,連接OE并延長交直線l于點F.
(1)①依題意補全圖形.
②求證:∠OFC=∠ODC.
(2)連接FB,若B是OA的中點,的半徑是4,求FB的長.
【答案】(1)①補圖見解析;②證明見解析;(2)FB=.
【解析】
(1)①根據(jù)題意,補全圖形即可;
②由CD⊥OA可得∠ODC+∠AOD=90°,根據(jù)垂徑定理可得,利用等量代換可得,根據(jù)圓周角定理可得∠EOC=∠AOD,由切線性質(zhì)可得OC⊥FC,可得∠OFC+∠FOC=90°,即可證明∠OFC=∠ODC;
(2)連接BF,作BG⊥l于G,根據(jù)OB=OA,可得∠OCB=30°,利用勾股定理可求出BC的長,根據(jù)垂徑定理可得CD的長,由(1)可知∠OFC=∠ODC,可得FC=CD,由BG⊥l,OC⊥l可得OC//BG,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CBG=30°,根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求出CG的長,利用勾股定理可求出BG的長,即可求出FG的長,利用勾股定理求出FB的長即可.
(1)①延長OE,交直線l于F,如圖即為所求,
②∵OA⊥CD,OA為⊙O半徑,
∴,
∵,
∴,
∴∠EOC=∠AOD,
∵FC是⊙O的切線,
∴OC⊥FC,
∴∠OFC+∠FOC=90°,
∴∠OFC=∠ODC.
(2)連接BF,作BG⊥l于G,
∵B是OA的中點,⊙O半徑為4,
∴OB=OA=OC=2,
∵OA⊥CD,
∴∠OCD=30°,BC===,
∴CD=2BC=,
由(1)可知∠OFC=∠ODC,
∴FC=CD=,
∵BG⊥l,OC⊥l,
∴OC//BG,
∴∠CBG=∠OCD=30°,
∴CG=BC=,BG==3,
∴FG=FC+CG=,
∴BF==.
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【題目】如圖,在中,,以為直徑作,點D在上,,,垂足為點E,與和分別交于點M、F.連接、、.
(1)證明:是的切線;
(2)若,,求的半徑長;
(3)在(2)的條件下,求的長.
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【題目】下圖是一個橫斷面為拋物線形狀的拱橋,當水面寬4 m時,拱頂(拱橋洞的最高點)離水面2 m,當水面下降1 m時,水面的寬度為_____m.
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【題目】如圖所示,已知直線y=kx+m與x軸、y軸分別交于A、C兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點,點B是拋物線與x軸的另一個交點,當x=﹣時,y取最大值.
(1)求拋物線和直線的解析式;
(2)設(shè)點P是直線AC上一點,且S△ABP:S△BPC=1:3,求點P的坐標;
(3)若直線y=x+a與(1)中所求的拋物線交于M、N兩點,問:
①是否存在a的值,使得∠MON=90°?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由;
②猜想當∠MON>90°時,a的取值范圍(不寫過程,直接寫結(jié)論).
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,二次函數(shù)的圖象與x軸交于點A,B(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,頂點為P.
(1)直接寫出點A,C,P的坐標.
(2)畫出這個函數(shù)的圖象.
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【題目】在中,D是邊BC上一點,以點A為圓心,AD長為半徑作弧,如果與邊BC有交點E(不與點D重合),那么稱為的A-外截弧.例如,圖中是的一條A-外截弧.在平面直角坐標系xOy中,已知存在A-外截弧,其中點A的坐標為,點B與坐標原點O重合.
(1)在點,,,中,滿足條件的點C是_______.
(2)若點C在直線上.
①求點C的縱坐標的取值范圍.
②直接寫出的A-外截弧所在圓的半徑r的取值范圍.
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【題目】下面是小石設(shè)計的“過圓上一點作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過程.
已知:如圖1,及上一點P.
求作:直線PQ,使得PQ與相切.
作法:如圖2,
①連接PO并延長交于點A;
②在上任取一點B(點P,A除外),以點B為圓心,BP長為半徑作,與射線PO的另一個交點為C.
③連接CB并延長交于點Q.
④作直線PQ;
所以直線PQ就是所求作的直線.
根據(jù)小石設(shè)計的尺規(guī)作圖的過程.
(1)使用直尺和圓規(guī),補全圖形:(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明:∵CQ是的直徑,
∴________(________________)(填推理的依據(jù))
∴.
又∵OP是的半徑,
∴PQ是的切線(________________)(填推理的依據(jù))
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【題目】為了在校運會中取得更好的成績,小丁積極訓(xùn)練.在某次試投中鉛球所經(jīng)過的路線是如圖所示的拋物線的一部分.已知鉛球出手處A距離地面的高度是米,當鉛球運行的水平距離為3米時,達到最大高度的B處.小丁此次投擲的成績是多少米?
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【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2﹣2x+3
(1)求出頂點,并畫出二次函數(shù)的圖象.
(2)根據(jù)圖象解決下列問題
①若y>0,寫出x的取值范圍.
②求出﹣≤x≤2時,y的最大值和最小值.
③求出﹣5<y<3時,x的取值范圍.
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