Question

【題目】如圖，B是的半徑OA上的一點（不與端點重合），過點B作OA的垂線交于點C，D，連接OD，E是上一點，，過點C作的切線l，連接OE并延長交直線l于點F.

（1）①依題意補全圖形.

②求證：∠OFC=∠ODC.

（2）連接FB，若B是OA的中點，的半徑是4，求FB的長.

Answer 1

【答案】（1）①補圖見解析；②證明見解析；（2）FB=.

【解析】

（1）①根據(jù)題意，補全圖形即可；

②由CD⊥OA可得∠ODC+∠AOD=90°，根據(jù)垂徑定理可得，利用等量代換可得，根據(jù)圓周角定理可得∠EOC=∠AOD，由切線性質(zhì)可得OC⊥FC，可得∠OFC+∠FOC=90°，即可證明∠OFC=∠ODC；

（2）連接BF，作BG⊥l于G，根據(jù)OB=OA，可得∠OCB=30°，利用勾股定理可求出BC的長，根據(jù)垂徑定理可得CD的長，由（1）可知∠OFC=∠ODC，可得FC=CD，由BG⊥l，OC⊥l可得OC//BG，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CBG=30°，根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求出CG的長，利用勾股定理可求出BG的長，即可求出FG的長，利用勾股定理求出FB的長即可.

（1）①延長OE，交直線l于F，如圖即為所求，

②∵OA⊥CD，OA為⊙O半徑，

∴，

∵，

∴，

∴∠EOC=∠AOD，

∵FC是⊙O的切線，

∴OC⊥FC，

∴∠OFC+∠FOC=90°，

∴∠OFC=∠ODC.

（2）連接BF，作BG⊥l于G，

∵B是OA的中點，⊙O半徑為4，

∴OB=OA=OC=2，

∵OA⊥CD，

∴∠OCD=30°，BC===，

∴CD=2BC=，

由（1）可知∠OFC=∠ODC，

∴FC=CD=，

∵BG⊥l，OC⊥l，

∴OC//BG，

∴∠CBG=∠OCD=30°，

∴CG=BC=，BG==3，

∴FG=FC+CG=，

∴BF==.