Question

【題目】拋物線y=ax2+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，拋物線上有一動點(diǎn)P
（1）若A（﹣2，0），C（0，﹣4）
①求拋物線的解析式；
②在①的情況下，若點(diǎn)P在第四象限運(yùn)動，點(diǎn)D（0，﹣2），以BD、BP為鄰邊作平行四邊形BDQP，求平行四邊形BDQP面積的取值范圍．
（2）若點(diǎn)P在第一象限運(yùn)動，且a＜0，連接AP、BP分別交y軸于點(diǎn)E、F，則問 是否與a，c有關(guān)？若有關(guān)，用a，c表示該比值；若無關(guān)，求出該比值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①∵A（﹣2，0），C（0，﹣4）在拋物線上，

∴ ，解得 ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣4；

②如圖1，連接DB、OP，設(shè)P（x，x2﹣4），

∵A（﹣2，0），對稱軸為y軸，

∴B（2，0），

∴S△BDP=S△ODP+S△OBP﹣S△BOD= OD|x|+ OB|x2﹣4|﹣ ODOB=x+4﹣x2﹣2=﹣x2+x+2=﹣（x﹣ ）2+ ，

∵點(diǎn)P在第四象限運(yùn)動，

∴0＜x＜2，

∴當(dāng)x= 時，S△BDP有最大值 ，當(dāng)x=2時，S△BDP有最小值0，

∴0＜S△BDP≤ ，

∵四邊形BDQC為平行四邊形，

∴S四邊形BDQP=2S△BDP，

∴0＜S四邊形BDQP≤ ；

（2）

解：如圖2，過點(diǎn)P作PG⊥AB，設(shè)A（x1，0），B（x2，0），P（x，y），

∵PG∥y軸，

∴△AOE∽△AGP，△BGP∽△BOF，

∴ = ， = ，

∴ = ， = ，

∴ + = + = = ，

當(dāng)y=0時，可得ax2+c=0，

∴x1+x2=0，x1x2= ，

∴ + = = = ，

∴OE+OF=2c，

∴ = =2，

∴ = = = =1，

∴ 的值與a，c無關(guān)，比值為1．

【解析】（1）①由A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；②連接BD、OP，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用S△BDP=S△ODP+S△OBP﹣S△BOD可用x表示出四邊形BDQP的面積，借助x的取值范圍，可求得四邊形BDQP面積的取值范圍；（2）過點(diǎn)P作PG⊥AB，設(shè)A（x1 ， 0），B（x2 ， 0），P（x，y），由△AOE∽△AGP、△BGP∽△BOF，利用相似三角形的性質(zhì)和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可整理得到 =2，再利用三角形的面積可得 的值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解相似三角形的性質(zhì)(對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形)．