Question

如圖，已知經(jīng)過點(diǎn)D（2，﹣）的拋物線y=（x+1）（x﹣3）（m為常數(shù)，且m＞0）與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A位于B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）填空：m的值為　 　，點(diǎn)A的坐標(biāo)為　 　；

（2）根據(jù)下列描述，用尺規(guī)完成作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）：連接AD，在x軸上方作射線AE，使∠BAE=∠BAD，過點(diǎn)D作x軸的垂線交射線AE于點(diǎn)E；

（3）動(dòng)點(diǎn)M、N分別在射線AB、AE上，求ME+MN的最小值；

（4）t是過點(diǎn)A平行于y軸的直線，P是拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作l的垂線，垂足為點(diǎn)G，請(qǐng)你探究：是否存在點(diǎn)P，使以P、G、A為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

    解：（1）∵拋物線y=（x+1）（x﹣3）經(jīng)過點(diǎn)D（2，﹣），

∴m=，

把m=代入y=（x+1）（x﹣3），得y=（x+1）（x﹣3），

即y=x²﹣x﹣；

令y=0，得（x+1）（x﹣3）=0，

解得x=﹣1或3，

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）如圖1所示；

（3）過點(diǎn)D作射線AE的垂線，垂足為N，交AB于點(diǎn)M，設(shè)DE與x軸交于點(diǎn)H，如圖2，

由（1）（2）得點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于x軸對(duì)稱，

∴MD=ME，

∵AH=3，DH=，

∴AD=2，

∴∠BAD=∠BAE=30°，

∴∠DAN=60°，

∴sin∠DAN=，

∴sin60°=，

∴DN=3，

∵此時(shí)DN的長(zhǎng)度即為ME+MN的最小值，

∴ME+MN的最小值為3；

（4）假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P、G、A為頂點(diǎn)的三角形與△ABD相似，如圖3，

∵P是拋物線上一點(diǎn)，

∴設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（x，x²﹣x﹣）；

∴點(diǎn)G坐標(biāo)（﹣1，x²﹣x﹣），

∵A（﹣1，0），B（3，0），D（2，﹣）；

∴AB=4，BD=2，AD=2，

∴△ABD為直角三角形的形狀，

△ABD與以P、G、A為頂點(diǎn)的三角形相似，

分兩種情況：

①△ABD∽△PAG，

∴=，

∴2（x+1）=2（x²﹣x﹣），

解得x₁=4，x₂=﹣1（舍去），

∴P（4，）；

②△ABD∽△APG，

∴=，

∴2（x+1）=2（x²﹣x﹣），

解得x₁=6，x₂=﹣1（舍去），

∴P（6，7）；

∴點(diǎn)P坐標(biāo)（4，）或（6，7）．