Question

【題目】如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，直線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B，點(diǎn)C坐標(biāo)為，作點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接BF和OF，OF交AC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)M．

（1）求證：．

（2）如圖（2），連接CF交AB于點(diǎn)H，求證：．

（3）如圖（3），若，G為x軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接MG，過點(diǎn)M作GM的垂線交FB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，GB-BD的值是否為定值？若是，求其值；若不是，求其取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）是，

【解析】

（1）先求出A，B的坐標(biāo)，再通過對(duì)稱得到FB=BC且垂直x軸，從而證Rt△OAC≌Rt△FOB，得到OF⊥AC．
（2）利用勾股定理和等腰直角三角形的性質(zhì)分別求出BA，BF，BH即可．
（3）過M點(diǎn)作MN⊥x軸于N點(diǎn)，MH⊥DF于H點(diǎn)，證明直角△MEN≌直角△MDH．

（1）證明由得，

.

關(guān)于AB對(duì)稱，

，

.

又.

.

，

，即.

（2）證明：在中，，

，

在中，，

.

（3）解：GB-BD的值是定值，定值等于.

直線AB的解析式為，

點(diǎn)F的坐標(biāo)為，直線OF的解析式為.

解方程組得，

.

過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，于點(diǎn)H，如圖

四邊形MNBH是正方形，

.

又

，

，

.

在和中，，

.

.

綜上所述，GB-BD的值為定值.