Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²-2mx+m²+m的圖象與關(guān)于x的函數(shù)y=kx+1的圖象交于兩點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）；（x₁＜x₂）
（1）當(dāng)k=1，m=0，1時，求AB的長；
（2）當(dāng)k=1，m為任何值時，猜想AB的長是否不變？并證明你的猜想．
（3）當(dāng)m=0，無論k為何值時，猜想△AOB的形狀．證明你的猜想．
（平面內(nèi)兩點間的距離公式）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先將k=1，m=0分別代入，得出二次函數(shù)的解析式為y=x²，直線的解析式為y=x+1，聯(lián)立，得x²-x-1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，過點A、B分別作x軸、y軸的平行線，兩線交于點C，證明△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理得出AB=AC，根據(jù)兩點間距離公式及完全平方公式求出AB=；同理，當(dāng)k=1，m=1時，AB=；
（2）當(dāng)k=1，m為任何值時，聯(lián)立，得x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-1，同（1）可求出AB=；
（3）當(dāng)m=0，k為任意常數(shù)時，分三種情況討論：①當(dāng)k=0時，由，得A（-1，1），B（1，1），顯然△AOB為直角三角形；②當(dāng)k=1時，聯(lián)立，得x²-x-1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，同（1）求出AB=，則AB²=10，運用兩點間的距離公式及完全平方公式求出OA²+OB²=10，由勾股定理的逆定理判定△AOB為直角三角形；③當(dāng)k為任意實數(shù)時，聯(lián)立，得x²-kx-1=0，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1，根據(jù)兩點間距離公式及完全平方公式求出AB²=k⁴+5k²+4，OA²+OB²═k⁴+5k²+4，由勾股定理的逆定理判定△AOB為直角三角形．
解答：解：（1）當(dāng)k=1，m=0時，如圖．
由得x²-x-1=0，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，
過點A、B分別作x軸、y軸的平行線，兩線交于點C．
∵直線AB的解析式為y=x+1，
∴∠BAC=45°，△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=|x₂-x₁|==；
同理，當(dāng)k=1，m=1時，AB=；

（2）猜想：當(dāng)k=1，m為任何值時，AB的長不變，即AB=．理由如下：
由，得x²-（2m+1）x+m²+m-1=0，
∴x₁+x₂=2m+1，x₁•x₂=m²+m-1，
∴AB=AC=|x₂-x₁|==；

（3）當(dāng)m=0，k為任意常數(shù)時，△AOB為直角三角形，理由如下：
①當(dāng)k=0時，則函數(shù)的圖象為直線y=1，
由，得A（-1，1），B（1，1），
顯然△AOB為直角三角形；
②當(dāng)k=1時，則一次函數(shù)為直線y=x+1，
由，得x²-x-1=0，
∴x₁+x₂=1，x₁•x₂=-1，
∴AB=AC=|x₂-x₁|==，
∴AB²=10，
∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²
=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²
=x₁²+x₂²+（x₁+1）²+（x₂+1）²
=x₁²+x₂²+（x₁²+2x₁+1）+（x₂²+2x₂+1）
=2（x₁²+x₂²）+2（x₁+x₂）+2
=2（1+2）+2×1+2
=10，
∴AB²=OA²+OB²，
∴△AOB是直角三角形；
③當(dāng)k為任意實數(shù)，△AOB仍為直角三角形．
由，得x²-kx-1=0，
∴x₁+x₂=k，x₁•x₂=-1，
∴AB²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²
=（x₁-x₂）²+（kx₁-kx₂）²
=（1+k²）（x₁-x₂）²
=（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁•x₂]
=（1+k²）（4+k²）
=k⁴+5k²+4，
∵OA²+OB²=x₁²+y₁²+x₂²+y₂²
=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²
=x₁²+x₂²+（kx₁+1）²+（kx₂+1）²
=x₁²+x₂²+（k²x₁²+2kx₁+1）+（k²x₂²+2kx₂+1）
=（1+k²）（x₁²+x₂²）+2k（x₁+x₂）+2
=（1+k²）（k²+2）+2k•k+2
=k⁴+5k²+4，
∴AB²=OA²+OB²，
∴△AOB為直角三角形．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，平面內(nèi)兩點間的距離公式，完全平方公式，勾股定理的逆定理，有一定難度．本題對式子的變形能力要求較高，體現(xiàn)了由特殊到一般的思想．