Question

已知：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O直徑，且PA⊥AB于點(diǎn)A，PO⊥AC于點(diǎn)M
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）當(dāng)OM=

2

，cosB=

2

4

時(shí)，求PC的長．

Answer 1

分析：（1）由題干條件先證明△PAM≌△PMC得到∠PAM=∠PCM，又知OA=OC，得到∠OAC=∠OCA，
（2）首先求出半徑，然后根據(jù)三角形相似解得PC．

解答：證明：（1）連接OC，
∵AB為⊙O直徑，且PA⊥AB于點(diǎn)A，PO⊥AC于點(diǎn)M，
∴AM=MC，∵PM=PM，∠PMA=∠PMC，
∴△PAM≌△PMC，
∴∠PAM=∠PCM，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAP=∠OCP=90°，
∴PC是⊙O的切線；

（2）在Rt△ACB中，
當(dāng)OM=

2

，cosB=

2

4

，
∴BC=2

2

，AB=8，AC=2

14

，
∵Rt△PMC∽R(shí)t△ACB，
∴

MC

BC

=

PC

AB

，
解得PC=4

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定，解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．