Question

在如圖1至圖3中，△ABC的面積為a．

（1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連接DA．若△ACD的面積為S₁，則S₁=

a

（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，延長△ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連接DE．若△DEC的面積為S₂，則S₂=

2a

（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由；
（3）在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點F，使BF=AB，連接FD、FE，得到△DEF（如圖3），若陰影部分的面積為S₃，則S₃=

6a

（用含a的代數(shù)式表示）；
（4）像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點，得到△DEF（如圖3），此時，我們稱△ABC向外擴展了一次．可以發(fā)現(xiàn)，擴展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的

7

倍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等底等高的三角形面積相等解答即可；
（2）分別過A、E作BD的垂線，根據(jù)三角形中位線定理及三角形的面積公式求解即可；
（3）由△BFD、△ECD及△AEF的邊長為△ABC邊長的一半，即可求出S₃的值；
（4）根據(jù)高與△AEF的高相等解答即可．

解答：解：（1）∵CD=BC，△ABC的面積為a，△ABC與△ACD的高相等，
∴S₁=S_△ABC=a，
故答案為：a；
（2）分別過A、E作AG⊥BD，EF⊥BD，G、F為垂足，則AG∥EF，
∵A為CE的中點，∴AG=

1

2

EF，
∵BC=CD，
∴S₂=2S₁=2a，
故答案為2a；
（3）∵△BDF的邊長BD是△ABC邊長BC的2倍，兩三角形的兩邊互為另一三角形兩邊的延長線，
∴S_△BDF=2S_△ABC，
∵△ABC面積為a，∴S_△BDF=2a．
同理可得，S_△ECD=2a，S_△AEF=2a，
∴S₃=S_△BDF+S_△ECD+S_△AEF=2a+2a+2a=6a，
故答案為6a；
（4）∵S₃=S_△BDF+S_△ECD+S_△AEF=6a，
∴S_△EDF=S₃+S_△ABC=6a+a=7a，
∴

S△DEF

S△ABC

=

7a

a

=7，
∴擴展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的7倍，
故答案為7．

點評：本題考查了三角形的面積，面積和等積變形等知識點的應(yīng)用，能根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出每個三角形的面積和根據(jù)得出的結(jié)果得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力．