Question

操作與探究
探索：在如圖1至圖3中，△ABC的面積為a．
（1）如圖1，延長(zhǎng)△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接DA、若△ACD的面積為S₁，則S₁=

 

（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，延長(zhǎng)△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連接DE、若△DEC的面積為S₂，則S₂=

 

（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）在圖2的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF（如圖3）、若陰影部分的面積為S₃，則S₃=

 

（用含a的代數(shù)式表示）．
發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長(zhǎng)一倍，連接所得端點(diǎn)，得到△DEF（如圖3），此時(shí)，我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次、可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的

 

倍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等底等高的三角形面積相等解答即可；
（2）分別過A、E作BD的垂線，根據(jù)三角形中位線定理及三角形的面積公式求解即可；
（3）由△BFD、△ECD及△AEF的邊長(zhǎng)為△ABC邊長(zhǎng)的一半，高與△AEF的高相等解答即可．

解答：解：（1）∵CD=BC，△ABC的面積為a，△ABC與△ACD的高相等，
∴S₁=S_△ABC=a；
（2）分別過A、E作AG⊥BD，EF⊥BD，G、F為垂足，則AG∥EF，
∵A為CE的中點(diǎn)，∴AG=

1

2

EF，
∵BC=CD，
∴S₂=2S₁=2a；
（3）∵△BDF的邊長(zhǎng)BD是△ABC邊長(zhǎng)BC的2倍，兩三角形的兩邊互為另一三角形兩邊的延長(zhǎng)線，
∴S_△BDF=2S_△ABC，
∵△ABC面積為a，∴S_△BDF=2a．
同理可得，S_△ECD=2a，S_△AEF=2a，∴S₃=S_△BDF+S_△ECD+S_△AEF=2a+2a+2a=6a．
∵S₃=S_△BDF+S_△ECD+S_△AEF=6a，
∴S_△EDF=S₃+S_△ABC=6a+a=7a，
∴

S△DEF

S△ABC

=

7a

a

=7，
∴擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的7倍．

點(diǎn)評(píng)：本題比較復(fù)雜，只要根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行分析即可．