Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c分別交 x軸于A（4，0）、B（1，0），交y軸于點C（0，﹣3），過點A的直線交拋物線與另一點D．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）若點P為x軸上的一個動點，點Q在線段AC上，且Q點到x軸的距離為，連接PC、PQ，當△PCQ周長最小時，求出點P的坐標；

（3）如圖2，在（2）的結論下，連接PD，在平面內是否存在△A1P1D1，使△A1P1D1≌△APD（點A1、P1、D1的對應點分別是A、P、D，A1P1平行于y軸，點P1在點A1上方），且△A1P1D1的兩個頂點恰好落在拋物線上？若存在，請求出點A1的橫坐標m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣x﹣3，點D坐標為（﹣2，）；（2）P為（1，0）；（3）存在，m=﹣或m= 或m=或m=﹣．

【解析】

（1）將A、B、C三點坐標代入解方程組即可．

（2）求出點Q坐標，作點Q關于x軸的對稱點Q′，連接CQ′交x軸于點P，此時△PCQ周長最小，求出直線CQ′即可解決問題．

（3）分類討論①當P1、A1在拋物線上時，由A1P1∥y軸，故不存在．②當P1、D1在拋物線上時，設P1（t，t2﹣t﹣3）則D1（ ，t2﹣t）或（，t2﹣t）列出方程即可解決．③當A1、D1在拋物線上時，設A1（（m，m2﹣m﹣3）則D1（，m2﹣m+3）或（，m2﹣m+3），列出方程即可解決．

解：（1）由題意得 ，

解得 ．

所以拋物線解析式為y=x2﹣x﹣3．

由 解得 或 ，所以點D坐標為（﹣2，）．

（2）∵直線AC為y=x﹣3，= ，

∴點Q坐標為（，），點Q關于x軸的對稱點Q′（，），連接CQ′交x軸于點P，此時△PCQ周長最小，

∵直線CQ′為y=3x﹣3，

∴直線CQ′與x軸的交點P為（1，0）．

（3）當P1、A1在拋物線上時，由A1P1∥y軸，故不存在．

當P1、D1在拋物線上時，設P1（t，t2﹣t﹣3）則D1（，t2﹣t）或（，t2﹣t）．

∴t2﹣t =（）2﹣（）﹣3，解得t=，此時m=t=，

或t2﹣t =（）2﹣（）﹣3，解得t=，此時m=t=，

當A1、D1在拋物線上時，設A1（（m， m2﹣m﹣3）則D1（，m2﹣m+3）或（，m2﹣m+3）．

∴m2﹣m+3=（）2﹣（）﹣3，解得m=，

或m2﹣m+3=（）2﹣（）﹣3，解得m=﹣．