Question

【題目】如圖，在等邊△ABC中， M為BC邊上的中點(diǎn)， D是射線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊且在CD的下方作等邊△CDE，連接BE．

（1）填空：若D與M重合時(shí)（如圖1）∠CBE= 度；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段AM上時(shí)（點(diǎn)D不與A、M重合），請(qǐng)判斷（1）中結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；

（3）在（2）的條件下，如圖3，若點(diǎn)P、Q在BE的延長(zhǎng)線上，且CP=CQ=4，AB=6，試求PQ的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）30°（2）（1）中結(jié)論成立．理由見(jiàn)解析（3）．

【解析】

(1)如圖1.

∵在等邊△ABC中，M為BC邊上的中點(diǎn)，D與M重合，

∴BD=CD，

∵△CDE是等邊三角形，

∴∠CDE=60°，CD=DE，

∴BD=DE，

∴∠BED=∠DBE，

又∵∠BED+∠DBE=∠CDE=60°，

∴∠DBE=30°,即∠CBE=30°；

故答案為30；

（2）（1）中結(jié)論成立．

證明：∵正△ABC、正△CDE ∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴∠ACD＝∠BCE

∴△ACD≌△BCE ∴∠CAD＝∠CBE． 又∵正△ABC中，M是BC中點(diǎn)．

∴∠CAD＝∠BAC＝30°． ∴∠CBE＝30°

（3）

作CF⊥PQ于F ∵CP＝CQ ∴PF＝QF＝PQ

由（2）Rt△BCF中，∠CBF＝30° ∴CF＝BC＝AB＝3

Rt△PCF中，PF＝∴PQ＝2PF＝