Question

【題目】好學(xué)的小紅在學(xué)完三角形的角平分線后，遇到下列4個(gè)問題，請(qǐng)你幫她解決．如圖，在△ABC中，∠BAC=48°，點(diǎn)I是兩角∠ABC、∠ACB的平分線的交點(diǎn)．

（1）填空：∠BIC=　　　　 °．

（2）若點(diǎn)D是兩條外角平分線的交點(diǎn)，填空：∠BDC=　　　　 °．

（3）若點(diǎn)E是內(nèi)角∠ABC、外角∠ACG的平分線的交點(diǎn)，試探索：∠BEC與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

（4）在問題（3）的條件下，當(dāng)∠ACB等于　　　　 度時(shí)，CE∥AB？

Answer 1

【答案】（1）114；（2）66；（3）∠BEC∠BAC，理由見解析；（4）84．

【解析】

（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，進(jìn)而可根據(jù)角平分線的性質(zhì)求得∠IBC+∠ICB的度數(shù)，然后再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出結(jié)果；

（2）根據(jù)一對(duì)鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直可得∠IBD=∠ICD=90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可得∠BDC+∠BIC=180°，再結(jié)合（1）題的結(jié)果即得答案；

（3）設(shè)∠ACE=∠ECG=x，∠ABI=∠IBC=y，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得2x=2y+∠A，x=y+∠E，然后整體變形即得結(jié)論；

（4）根據(jù)平行線的判定可得當(dāng)∠ECA=∠A=48°時(shí)CE∥AB，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平角的定義即可求出結(jié)果．

解：（1）∵∠A=48°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣48°=132°．

∵點(diǎn)I是兩角∠ABC、∠ACB的平分線的交點(diǎn)，

∴∠IBC+∠ICB(∠ABC+∠ACB)=66°，∴∠BIC=180°﹣66°=114°．

故答案為：114．

（2）如圖，∵IB平分∠ABC，DB平分∠FBC，

∴∠IBD(∠ABC+∠FBC)= 90°，

同理可得∠ICD=90°，

∴∠BDC+∠BIC=180°，

∴∠BDC=180°－∠BIC=66°．

故答案為：66．

（3）∠BEC∠BAC．

理由：設(shè)∠ACE=∠ECG=x，∠ABI=∠IBC=y，

∴2x=2y+∠A①，x=y+∠E②，

則①÷2﹣②可得：∠E∠A．

（4）當(dāng)∠ECA=∠A=48°時(shí)，CE∥AB，

∵CE平分∠ACG，

∴∠ECG=∠ECA=48°，

∴∠ACB=180°﹣48°﹣48°=84°．

故答案為：84．