Question

下表給出了代數(shù)式x²+bx+c與x的一些對(duì)應(yīng)值：

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
X2+bx+c	…		3		-1		3	…

（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，確定b、c的值，并填齊表格中空白處的對(duì)應(yīng)值；
（2）代數(shù)式x²+bx+c是否有最小值？如果有，求出最小值；如果沒有，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)y=x²+bx+c的圖象與x軸的交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn)（A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，P點(diǎn)為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)作PE∥AC交BC于E，連接PC，當(dāng)△PEC的面積最大時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圖表中已知的三組數(shù)據(jù)，用待定系數(shù)法即可求出b、c的值；進(jìn)而可由拋物線的解析式填齊空白處的對(duì)應(yīng)值；
（2）根據(jù)（1）所得函數(shù)的解析式，可用配方法或公式法求出其最小值；
（3）由于△PEC的面積無法直接得出，所以要轉(zhuǎn)化為其他圖形面積的和差來解；可設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，過E作EM⊥x軸于M，易證得△BPE∽△BAC，那么它們的對(duì)應(yīng)高等于相似比，由此可求出EM的表達(dá)式；那么△PEC的面積可由△ABC、△BPE、△APC的面積差求得，也就得到了關(guān)于△PEC的面積與P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出S的最大值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意知：

c=3 4+2b+c=-1

解得b=-4（1分）

x	…	-1	0	1	2	3	4	…
X2+bx+c	…	8	3	0	-1	0	3	…

（2）∵x²-4x+3=（x-2）²-1≥-1
∴x²-4x+3有最小值，最小值為-1；（3分）

（3）由（1）可知，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0）、設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，0），過點(diǎn)E作EM⊥x軸于點(diǎn)M，
∵PE∥AC，∴△EPB∽△CAB
∵EM、CO分別為△EPB與△CAB邊上的高，
∴

EM

CO

=

PB

AB

（4分）
∵CO=3，AB=2，PB=3-x，∴EM=

3

2

(3-x)（5分）
∴S_△PEC=S_△PBC-S_△PBE=

1

2

PB•CO-

1

2

PB•EM（6分）
=

1

2

(3-x)[3-

3(3-x)

2

]=-

3

4

(x-2)2+

3

4

（7分）
∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值

3

4

；
∴當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）時(shí)，△PEC的面積最大．（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定和性質(zhì)、圖形面積的求法及二次函數(shù)的應(yīng)用等，綜合性較強(qiáng)，難度偏大．