Question

（2013•莆田質(zhì)檢）如圖，在矩形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，將△DCE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AE邊上的點(diǎn)F處．
（1）求證：AE=BC﹔
（2）若AD=5，AB=3，求sin∠EDF．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BC，∠C=∠ADC=90°，再根據(jù)翻折變換的性質(zhì)可得∠CDE=∠EDF，∠DFE=∠C，然后根據(jù)等角的余角相等求出∠ADE=∠AED，根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得AD=AE，從而得證；
（2）在Rt△ABE中，利用勾股定理列式求出BE，再求出CE，然后根據(jù)勾股定理列式求出DE，再根據(jù)銳角的正弦等于對(duì)邊比斜邊列式計(jì)算即可得解．

解答：（1）證明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠C=∠ADC=90°，
∵將△DCE沿DE折疊，點(diǎn)C落在AE邊上的點(diǎn)F處，
∴∠CDE=∠EDF，∠DFE=∠C=90°，
∵∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°，
∠EDF+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠AED，
∴AD=AE，
∴AE=BC；

（2）解：在Rt△ABE中，BE=

AE2-AB2

=

52-32

=4，
∴CE=BC-BE=5-4=1，
在Rt△CDE中，DE=

CD2+CE2

=

32+12

=

10

，
∴sin∠EDF=sin∠CDE=

CE

DE

=

1

10

=

10

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的對(duì)邊相等，四個(gè)角都是直角的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，等角的余角相等的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，勾股定理以及銳角三角函數(shù)，綜合題但難度不大，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．