Question

【題目】在矩形ABCD中，BC＝6，點(diǎn)E是AD邊上一點(diǎn)，∠ABE＝30°，BE＝DE，連接BD.動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)E出發(fā)沿射線ED運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)M作MN∥BD交直線BE于點(diǎn)N.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M在線段ED上時(shí)，求證：MN＝EM；

（2）設(shè)MN長為x，以M、N、D為頂點(diǎn)的三角形面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段ED的中點(diǎn)時(shí)，連接NC，過點(diǎn)M作MF⊥NC于F，MF交對(duì)角線BD于點(diǎn)G（如圖2），求線段MG的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】分析:（1）先根據(jù)等角對(duì)等邊證明EM=EN, 過點(diǎn)作 于點(diǎn),則.

在Rt△EMH中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出MH與EM的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而可證明結(jié)論；

（2）點(diǎn)M從點(diǎn)E出發(fā)沿射線ED運(yùn)動(dòng)，所以分當(dāng)點(diǎn)M在線段ED上時(shí)與當(dāng)點(diǎn)M在線段ED的延長線上時(shí)兩種情況討論，根據(jù)所作的輔助線，可得y與x的關(guān)系；

（3）連接CM交BD于點(diǎn)，可得∠NMC=90°，進(jìn)而可得∽，可得，解之可得MG的長．

詳解:（1）證明：∵°, ° ,

∴ °

∵ ,

∴°

∵∥,

∴

∴°,

∴

過點(diǎn)作 于點(diǎn),則.

在中，

∴

∴

（2）在中，，

∴

∵ ∴

a.當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn),

在中，

由（1）可知：

,

∴

∴

∴

b.當(dāng)點(diǎn)在線段延長線上時(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)

在中， ,

在中，,

∴,

∴ ;

（3）連接,交于點(diǎn).

∵為的中點(diǎn) ,

∴,

∴.

∵ ,

∴,

∴,

∴,

∴.

∵∥ ,

∴,

∴ ,

,

∵ ,

∴,

又∵ ,

∴∽,

∴，即,

∴ .

點(diǎn)睛:本題結(jié)合矩形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解直角三角形，相似三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握各種圖形的判定與性質(zhì)，．