Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上的一點，過點A作AG⊥BE，垂足為G，AG交BD于點F．

（1）試說明OE=OF；

（2）當(dāng)AE=AB時，過點E作EH⊥BE交AD邊于H，找出與△AHE全等的一個三角形加以證明，

（3）在（2）的條件下若該正方形邊長為1，求AH的長．

Answer 1

【答案】（1）證明解解析（2）答案見解析（3）﹣1

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出AC⊥BD，OA=OB，求出∠FAO=∠EBO，根據(jù)ASA推出△AFO≌△BEO即可；

（2）根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠ACB=∠DAC=45°，∠ABE+∠EBC=90°，求出∠CBE=∠AEH，AE=AB=BC，證△BCE≌△EAH；

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出CE=AH，即可得出答案．

（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OA=OB，

∴∠AOF=∠BOE=90°，

∵AG⊥BE，

∴∠FGB=90°，

∴∠OBE+∠BFG=90°，∠FAO+∠AFO=90°，

∵∠AFO=∠BFG，

∴∠FAO=∠EBO，

在△AFO和△BEO中，

，

∴△AFO≌△BEO（ASA），

∴OE=OF．

（2）△BCE≌△EAH，

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠ACB=∠DAC=45°，∠ABE+∠EBC=90°，

∵EH⊥BE，

∴∠AEH+∠AEB=90°，

∵AE=AB，

∴∠ABE=∠AEB，

∴∠CBE=∠AEH，

∵AE=AB=BC，

在△BCE和△EAH中，

，

∴△BCE≌△EAH（ASA）；

（3）解：∵△BCE≌△EAH，

∴CE=AH，

∵AB=BC=1，

∴AC=，

∵AE=AB=1，

∴AH=CE=AC﹣AE=﹣1．