Question

【題目】一個三位自然數(shù)（百位上的數(shù)字為，十位上的數(shù)字為，個位上的數(shù)字為）. 若滿足，則稱這個三位數(shù)為“和悅數(shù)”，并規(guī)定. 如231，因為它的百位上的數(shù)字2與個位上的數(shù)字1之和等于十位上的數(shù)字3. 所以231是“和悅數(shù)”，所以.

（1）請任意寫出兩個“和悅數(shù)”，并猜想任意一個“和悅數(shù)”是否是11的倍數(shù)，請說明理由；

（2）已知有兩個十位上的數(shù)字相同的“和悅數(shù)”，若，求的值.

Answer 1

【答案】（1）例如：253，374都是和悅數(shù)，任意一個“和悅數(shù)”是11的倍數(shù)，理由見詳解； （2）99或495

【解析】

(1)根據(jù)“和悅數(shù)”的定義，用代數(shù)式表示和悅數(shù)，即可得到結(jié)論；

(2)設(shè)m=，n=，由，得，從而得或，即==，進(jìn)而得到答案.

（1）例如：253，374都是和悅數(shù)，任意一個“和悅數(shù)”是11的倍數(shù)，理由如下：

設(shè)是和悅數(shù)，則，

∴=100a+10b+c=100a+10(a+c)+c=110a+11c=11(10a+c)，

∴任意一個“和悅數(shù)”是11的倍數(shù)；

（2）設(shè)m=，n=，

∵，

∴

=

=，

∵ 都是整數(shù)，，

∴或，

∵=

=，

∵，

∴=

=，

∴=99或495.