Question

操作與探究
探索：在如圖1至圖3中，△ABC的面積為a．
（1）如圖1，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接DA、若△ACD的面積為S₁，則S₁=______（用含a的代數(shù)式表示）；
（2）如圖2，延長△ABC的邊BC到點(diǎn)D，延長邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連接DE、若△DEC的面積為S₂，則S₂=______（用含a的代數(shù)式表示）；
（3）在圖2的基礎(chǔ)上延長AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到△DEF（如圖3）、若陰影部分的面積為S₃，則S₃=______（用含a的代數(shù)式表示）．
發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連接所得端點(diǎn)，得到△DEF（如圖3），此時，我們稱△ABC向外擴(kuò)展了一次、可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的______倍．

Answer 1

（1）∵CD=BC，△ABC的面積為a，△ABC與△ACD的高相等，
∴S₁=S_△ABC=a；
（2）分別過A、E作AG⊥BD，EF⊥BD，G、F為垂足，則AG∥EF，
∵A為CE的中點(diǎn)，∴AG=

1

2

EF，
∵BC=CD，


∴S₂=2S₁=2a；
（3）∵△BDF的邊長BD是△ABC邊長BC的2倍，兩三角形的兩邊互為另一三角形兩邊的延長線，
∴S_△BDF=2S_△ABC，
∵△ABC面積為a，∴S_△BDF=2a．
同理可得，S_△ECD=2a，S_△AEF=2a，∴S₃=S_△BDF+S_△ECD+S_△AEF=2a+2a+2a=6a．
∵S₃=S_△BDF+S_△ECD+S_△AEF=6a，
∴S_△EDF=S₃+S_△ABC=6a+a=7a，
∴

S△DEF

S△ABC

=

7a

a

=7，
∴擴(kuò)展一次后得到的△DEF的面積是原來△ABC面積的7倍．