Question

如圖①，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，CD=4．另有一直角三角形EFG，∠EFG=90°，點G與點D重合，點E與點A重合，點F在AB上，讓△EFG的邊EF在AB上，點G在DC上，以每秒1個單位的速度沿著AB方向向右運動，如圖②，點F與點B重合時停止運動，設(shè)運動時間為t秒．
（1）在上述運動過程中，請分別寫出當(dāng)四邊形FBCG為正方形和四邊形AEGD為平行四邊形時對應(yīng)時刻t的值或范圍；
（2）以點A為原點，以AB所在直線為x軸，過點A垂直于AB的直線為y軸，建立如圖③所示的坐標(biāo)系．求過A，D，C三點的拋物線的解析式；
（3）探究：延長EG交（2）中的拋物線于點Q，是否存在這樣的時刻t使得△ABQ的面積與梯形ABCD的面積相等？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，解直角△DAF可得DF=

3

，又FB=4-t，當(dāng)GF=FB時，四邊形FBCG為正方形，即

3

=4-t，G、C重合之前，始終有GE∥OE，DG∥OE，故當(dāng)0＜t≤4時，四邊形AEGD為平行四邊形；
（2）解直角△EFG得GF=

3

，EF=1，又AD=2，∴點D、C的坐標(biāo)分別是（1，

3

），（5，

3

），拋物線經(jīng)過原點，可求拋物線解析式；
（3）梯形ABCD面積可求，△ABQ的底邊AB為已知，由此可求AB邊上的高，即點Q的縱坐標(biāo)，根據(jù)拋物線解析式求橫坐標(biāo)，進一步求出E點位置，可得出運動時間t．

解答：解：（1）∵∠ABC=90°，∠DAB=60°，AD=2，
∴解直角△DAF可得AF=1，DF=

3

，
當(dāng)t=4-

3

時，四邊形FBCG為正方形．
當(dāng)0＜t≤4時，四邊形AEGD為平行四邊形．

（2）點D、C的坐標(biāo)分別是（1，

3

），（5，

3

），
∵拋物線經(jīng)過原點O（0，0），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx，
將D、C兩點坐標(biāo)代入得

a+b= 3 25a+5b= 3

，
解得

a=- 3 5 b= 6 5 3

，
∴拋物線的解析式為y=-

3

5

x²+

6 3

5

x；

（3）∵點Q在拋物線上，
∴點Q（x，-

3

5

x²+

6 3

5

x），
過點Q作QM⊥x軸于點M，又B（5，0），
則S_△ABQ=

1

2

AB•QM=

5

2

|-

3

5

x²+

6 3

5

x|=

1

2

|-

3

x²+6

3

x|；
又S_{四邊形ABCD}=（4+5）×

3

×

1

2

=

9

2

3

，
令

1

2

|-

3

x²+6

3

x|=

9

2

3

，
∵EG的延長線與拋物線交于x軸的上方，
∴-x²+6x=9解得x=3，
當(dāng)x=3時，y=-

3

5

×9+

6 3

5

×3=

9

5

3

，
∵∠QEM=60°，
∴EM=

MQ

tan60°

=

9

5

3

÷

3

=

9

5

，
∴t=3-

9

5

=

6

5

（秒）．
即存在這樣的時刻t，當(dāng)t=

6

5

秒時，△AQB的面積與梯形ABCD的面積相等．

點評：本題考查了四邊形的判定方法，點的坐標(biāo)及拋物線解析式的求法，并用面積法探討了一些實際問題，具有較強的綜合性．