Question

【題目】一副三角板如圖1擺放,∠C=∠DFE=90,∠B=30,∠E=45,點(diǎn)F在BC上,點(diǎn)A在DF上,且AF平分∠CAB,現(xiàn)將三角板DFE繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(當(dāng)點(diǎn)D落在射線(xiàn)FB上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)).

(1)當(dāng)∠AFD=_ __時(shí),DF∥AC;當(dāng)∠AFD=__ _時(shí)，DF⊥AB；

(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，DF與AB的交點(diǎn)記為P，如圖2，若AFP有兩個(gè)內(nèi)角相等，求∠APD的度數(shù)；

(3)當(dāng)邊DE與邊AB、BC分別交于點(diǎn)M、N時(shí)，如圖3，若∠AFM=2∠BMN，比較∠FMN與∠FNM的大小，并說(shuō)明理由。

Answer 1

【答案】(1)30；60(2) 60或105或150(3)∠FMN=∠FNM

【解析】分析：（1）當(dāng)∠AFD=30°時(shí)，AC∥DF，依據(jù)角平分線(xiàn)的定義可先求得∠CAF=∠FAB=30°，由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行，可證明AC∥DF，；當(dāng)∠AFD=60°時(shí)，DF⊥AB，由三角形的內(nèi)角和定理證明即可；

（2）分為∠FAP=∠AFP，∠AFP=∠APF，∠APF=∠FAP三種情況求解即可；

（3）先依據(jù)三角形外角的性質(zhì)證明∠FNM=30°+∠BMN，接下來(lái)再依據(jù)三角形外角的性質(zhì)以及∠AFM和∠BMN的關(guān)系可證明∠FMN=30°+∠BMN，從而可得到∠FNM與∠FMN的關(guān)系．

詳解：（1）如圖1所示：

當(dāng)∠AFD=30時(shí)，AC∥DF．

理由：∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，∴∠CAF=30°．

∵∠AFD=30°，∴∠CAF=∠AFD，∴AC∥DF．

如圖2所示：當(dāng)∠AFD=60°時(shí)，DF⊥AB．

∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，∴∠AFG=30°．

∵∠AFD=60°，∴∠FGB=90°，∴DF⊥AB．

故答案為：30；60．

（2）∵∠CAB=60°，AF平分∠CAB，∴∠FAP=30°．

當(dāng)如圖3所示：

當(dāng)∠FAP=∠AFP=30°時(shí)，∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+30°=60°；

如圖4所示：

當(dāng)∠AFP=∠APF時(shí)．

∵∠FAP=30°，∠AFP=∠APF，∴∠AFP=∠APF=×（180°﹣30°）=×150°=75°，∴∠APD=∠FAP+∠AFP=30°+75°=105°；

如圖5所示：

如圖5所示：當(dāng)∠APF=∠FAP=30°時(shí)．

∠APD=180°﹣30°=150°．

綜上所述：∠APD的度數(shù)為60°或105°或150°．

（3）∠FMN=∠FNM．

理由：如圖6所示：

∵∠FNM是△BMN的一個(gè)外角，∴∠FNM=∠B+∠BMN．

∵∠B=30°，∴∠FNM=∠B+∠BMN=30°+∠BMN．

∵∠BMF是△AFM的一個(gè)外角，∴∠MBF=∠MAF+∠AFM，即∠BMN+∠FMN=∠MAF+∠AFM．

又∵∠MAF=30°，∠AFM=2∠BMN，∴∠BMN+∠FMN=30°+2∠BMN，∴∠FMN=30°+∠BMN，∴∠FNM=∠FMN．