Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，矩形OABC的頂點B坐標為（12,5)，點D在 CB邊上從點C運動到點B，以AD為邊作正方形ADEF，連BE、BF，在點D運動過程中，請?zhí)骄恳韵聠栴}：

(1)△ABF的面積是否改變，如果不變，求出該定值；如果改變，請說明理由；

(2)若△BEF為等腰三角形，求此時正方形ADEF的邊長；

(3)設E(x,y)，直接寫出y關于x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）不變，，理由見解析；（2）5或或；（3）y=-x+22（5x17）

【解析】

（1）由“SAS”可證△ABD≌△FHA，可得HF=AB=5，即可求△ABF的面積；

（2）分三種情況討論，由等腰三角形的性質和勾股定理可求正方形ADEF的邊長；

（3）由全等三角形的性質，DH=AB=5，EH=DB，可得y=EH+5=DB+5，x=12-DB+DH=17-DB，即可求y關于x的函數(shù)關系式．

解：（1）作FH⊥AB交AB延長線于H，

∵正方形ADEF中，AD=AF,∠DAF=90°，

∴∠DAH+∠FAH=90°.

∵∠H=90°，

∴∠FAH+∠AFH=90°，

∴∠DAH=∠AFH，

∵矩形OABC中，AB=5,∠ABD=90°，

∴∠ABD=∠H∴△ABD≌△FHA，

∴FH=AB=5，

∴；

(2)①當EB=EF時，作EG⊥CB

∵正方形ADEF中，ED=EF，

∴ED=EB ，

∴DB=2DG，

同（1）理得△ABD≌△GDE，

∴DG=AB=5 ， ∴ DB=10，

∴；

②當EB=BF時，∠BEF=∠BFE，

∵正方形ADEF中，ED=AF，∠DEF=∠AFE=90°，

∴∠BED=∠BFA，

∴△ABF≌△DBE，

∴BD=AB=5 ，

∵矩形OABC中，∠ABD=90°，

∴ ；

③當FB=FE時，作FQ⊥AB，

同理得BQ=AQ=, BD=AQ=，

∴；

（3）當5≤x≤12時，如圖，

由（2）可知DH=AB=5，EH=DB，且E（x，y），

∴y=EH+5=DB+5，x=12-DB+DH=17-DB，

∴y=22-x，

當12＜x≤17時，如圖，

同理可得：x=12-DB+5=17-DB，y=DB+5，

∴y=22-x，

綜上所述：當5≤x≤17時，y=22-xy=-x+22（5x17）.