【題目】如圖,在中,,,,P是BC上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)P作AP的垂線交CD于E,將翻折得到,延長(zhǎng)FP交AB于H,連結(jié)AE,PE交AC于G.
(1)求證;
(2)當(dāng)時(shí),求AE的長(zhǎng);
(3)當(dāng)時(shí),求AG的長(zhǎng).
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2);(3)
【解析】
(1)先證明P、C、F共線,由余角的性質(zhì)可證,根據(jù)等角對(duì)等邊證明,再由余角的性質(zhì)證明和等角對(duì)等邊證明,結(jié)論可證;
(2)過(guò)A作于M,由勾股定理可求BC=4,然后求出MP的長(zhǎng),再由勾股定理求出AP的長(zhǎng),由是等腰直角三角形可求出AE的長(zhǎng);
(3)通過(guò)證明,可得,由外角的性質(zhì)可求出∠PAF=F=22.5°,再根據(jù)角的和差和三角形內(nèi)角和定理證明,然后求出,然后通過(guò)證明,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解.
(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,,
∴,
∴,
又∵,
∴,,
故F在AC的延長(zhǎng)線上.
又,,
而,∴,
而,∴,∴,
又,,∴,
∴,∴,
(2)過(guò)A作于M,
∵,,
∴BC=4,
∴,,
又∵,
∴BP=3,CP=,
∴,
∴,
由(1)知AP=AE,
∴是等腰直角三角形,
∴;
(3)由,且得
,∴,
∴,∴,
∴,∴,
∵,
∴,而∴,
∴,∴,
∴,
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,是的直徑,,是的兩條切線,切點(diǎn)分別為B,C.連接交于點(diǎn)D,交于點(diǎn)E,連接.
(1)求證:;
(2)若的半徑為5,,求的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,將一個(gè)8cm×16cm智屏手機(jī)抽象成一個(gè)的矩形ABCD,其中AB=8cm,AD=16cm,然后將它圍繞頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周,旋轉(zhuǎn)過(guò)程中A、B、C、D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)依次為A、E、F、G,則當(dāng)△ADE為直角三角形時(shí),若旋轉(zhuǎn)角為α(0<α<360°),則α的大小為_____.
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【題目】如圖,7個(gè)腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形(Rt△B1AA1,Rt△B2A1A2,Rt△B3A2A3…)有一條腰在同一條直線上,設(shè)△A1B2C1的面積為S1,△A2B3C2的面積為S2,△A3B4C3的面積為S3,則陰影部分的面積是______ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖1,在Rt△ABC和Rt△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=45°,點(diǎn)D時(shí)線段AB上一動(dòng)點(diǎn),連接BE.
填空:①的值為 ; ②∠DBE的度數(shù)為 .
(2)類比探究
如圖2,在Rt△ABC和Rt△CDE中,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=60°,點(diǎn)D是線段AB上一動(dòng)點(diǎn),連接BE.請(qǐng)判斷的值及∠DBE的度數(shù),并說(shuō)明理由;
(3)拓展延伸
如圖3,在(2)的條件下,將點(diǎn)D改為直線AB上一動(dòng)點(diǎn),其余條件不變,取線段DE的中點(diǎn)M,連接BM、CM,若AC=2,則當(dāng)△CBM是直角三角形時(shí),線段BE的長(zhǎng)是多少?請(qǐng)直接寫出答案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知AD∥BC,AB⊥BC,AB=3.點(diǎn)E為射線 BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),連接AE,將△ABE沿AE折疊,點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處,過(guò)點(diǎn)B′作AD的垂線,分別交AD,BC于點(diǎn)M,N.當(dāng)點(diǎn)B′為線段MN的三等分點(diǎn)時(shí),BE的長(zhǎng)為__________ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,直線與x軸交于點(diǎn)A(3,0),與y軸交于點(diǎn)B,拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)M(m,0)為線段OA上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P,N.
①求PN的最大值;
②若以B,P,N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).
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【題目】某中學(xué)在“書香校園”活動(dòng)中,為了解學(xué)生的讀書情況,學(xué)校抽樣調(diào)查了部分同學(xué)在一周內(nèi)的閱讀時(shí)間,繪制如下統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中信息,解答下列問(wèn)題:
(1)被抽查學(xué)生閱讀時(shí)間的中位數(shù)為____h,平均數(shù)為_____h;
(2)若該校共有2000名學(xué)生,請(qǐng)你估算該校一周內(nèi)閱讀時(shí)間不少于3h的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】邊長(zhǎng)為6的等邊△ABC中,點(diǎn)D、E分別在AC、BC邊上,DE∥AB,EC=2.
(1)如圖1,將△DEC沿射線EC方向平移,得到△D′E′C′,邊D′E′與AC的交點(diǎn)為M,邊C′D′與∠ACC′的角平分線交于點(diǎn)N,當(dāng)CC′多大時(shí),四邊形MCND′為菱形?并說(shuō)明理由.
(2)如圖2,將△DEC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)∠α(0°<α<360°),得到△D′E′C,連接AD′、BE′.邊D′E′的中點(diǎn)為P.
①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,AD′和BE′有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由;
②連接AP,當(dāng)AP最大時(shí),求AD′的值.(結(jié)果保留根號(hào))
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