Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x²+2x+1-m²（m為常數(shù)且m＜0）．
（1）求證：此拋物線與x軸總有兩個交點；
（2）設(shè)拋物線與x軸兩個交點橫坐標(biāo)為x₁，x₂且有x₁²-x₂²=2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）令y=0，將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程x²+2x+1-m²=0求根的問題，根據(jù)方程根的判別式來證明；
（2）由題意拋物線與x軸兩個交點橫坐標(biāo)為x₁，x₂，即方程x²+2x+1-m²=0有兩根為x₁，x₂，得x₁+x₂=-2，x₁•x₂=1-m²，又有x₁²-x₂²=2，從而求出m的值．

解答：解：（1）證明：當(dāng)y=0時得方程x²+2x+1-m²=0，
△=4-4×1×（1-m²）=4-4+4m²=4m²，（2分）
∵m＜0，
∴4m²＞0，
即△＞0，
∴此拋物線與x軸總有兩個交點（3分）；

（2）解：由題意，x₁、x₂是方程x²+2x+1-m²=0的兩根x₁+x₂=-2，
而x₁²-x₂²=（x₁-x₂）（x₁+x₂）=2，
∴-2（x₁-x₂）=x₁-x₂=-1（6分），
由此得到x₁＜x₂，而（x+1）²=m²
因此x=m-1或-m-1，
∴m＜0，
∴m-1＜-m-1，
∴x₁=m-1，x₂=-m-1，
∴m-1-（-m-1）=2m=-1，
∴m=-

1

2

（8分）．

點評：此題主要考查一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系，利用方程根與系數(shù)的關(guān)系，來求解m值，函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是方程的根．