【題目】如圖,點(diǎn)A在x軸上,OA=4,將線段OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°至OB的位置.
(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)求經(jīng)過點(diǎn)A.O、B的拋物線的解析式;
(3)在此拋物線的對(duì)稱軸上,是否存在點(diǎn)P,使得以點(diǎn)P、O、B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】解:(1)如圖,過B點(diǎn)作BC⊥x軸,垂足為C,則∠BCO=90°。
∵∠AOB=120°,∴∠BOC=60°。
又∵OA=OB=4,
∴OC=OB=×4=2,BC=OBsin60°=。
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣2,﹣)。
(2)∵拋物線過原點(diǎn)O和點(diǎn)A.B,
∴可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx,將A(4,0),B(﹣2,﹣)代入,
得,解得。
∴此拋物線的解析式為。
(3)存在。
如圖,拋物線的對(duì)稱軸是x=2,直線x=2與x軸的交點(diǎn)為D,
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,y)。
①若OB=OP,則22+|y|2=42,解得y=±,
當(dāng)y=時(shí),
在Rt△POD中,∠PDO=90°,sin∠POD=,
∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°,即P、O、B三點(diǎn)在同一直線上。
∴y=不符合題意,舍去。
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,﹣)。
②若OB=PB,則42+|y+|2=42,解得y=﹣。
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,﹣)。
③若OP=BP,則22+|y|2=42+|y+|2,解得y=﹣。
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,﹣)。
綜上所述,符合條件的點(diǎn)P只有一個(gè),其坐標(biāo)為(2,﹣)。
【解析】(1)首先根據(jù)OA的旋轉(zhuǎn)條件確定B點(diǎn)位置,然后過B做x軸的垂線,通過構(gòu)建直角三角形和OB的長(zhǎng)(即OA長(zhǎng))確定B點(diǎn)的坐標(biāo)。
(2)已知O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式。
(3)根據(jù)(2)的拋物線解析式,可得到拋物線的對(duì)稱軸,然后先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo),而O、B坐標(biāo)已知,可先表示出△OPB三邊的邊長(zhǎng)表達(dá)式,然后分①OP=OB、②OP=BP、③OB=BP三種情況分類討論,然后分辨是否存在符合條件的P點(diǎn)。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC和Rt△ADE中,∠BAC=∠DAE=90°,AB與DE相交于點(diǎn)F,連接DB、CE.
(1)若,求∠AFD的度數(shù);
(2)若∠ADE=∠ABC,求證△ADB∽△AEC.
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【題目】已知二次函數(shù)與x軸最多有一個(gè)交點(diǎn),現(xiàn)有以下三個(gè)結(jié)論:①該拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè);②關(guān)于x的方程無實(shí)數(shù)根;③≥0.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( 。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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【題目】如圖,點(diǎn)P是正方形ABCD的邊BC上的任意一點(diǎn),連接AP,作DE⊥AP,垂足是E,BF⊥AP,垂足是F.求證:DE=BF+EF.
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【題目】24如圖,P是弧AB所對(duì)弦AB上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作PC⊥AB交弧AB于點(diǎn)C,取AP中點(diǎn)D,連接CD.已知AB=6cm,設(shè)A,P兩點(diǎn)間的距離為xcm,C.D兩點(diǎn)間的距離為ycm.(當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),y的值為0;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),y的值為3)
小凡根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn),對(duì)函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.
下面是小凡的探究過程,請(qǐng)補(bǔ)充完整:
(1)通過取點(diǎn)、畫圖、測(cè)量,得到了x與y的幾組值,如下表:
x/cm | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y/cm | 0 | 2.2 |
| 3.2 | 3.4 | 3.3 | 3 |
(2)建立平面直角坐標(biāo)系,描出補(bǔ)全后的表中各對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn),畫出該函數(shù)的圖象;
(3)結(jié)合所畫出的函數(shù)圖象,解決問題:當(dāng)∠C=30°時(shí),AP的長(zhǎng)度約為 cm.
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【題目】某商場(chǎng)將每件進(jìn)價(jià)為80元的A商品按每件100元出售,一天可售出128件.經(jīng)過市場(chǎng)調(diào)查,發(fā)現(xiàn)這種商品的銷售單價(jià)每降低1元,其日銷量可增加8件.設(shè)該商品每件降價(jià)x元,商場(chǎng)一天可通過A商品獲利潤(rùn)y元.
(1)求y與x之間的函數(shù)解析式(不必寫出自變量x的取值范圍)
(2)A商品銷售單價(jià)為多少時(shí),該商場(chǎng)每天通過A商品所獲的利潤(rùn)最大?
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【題目】如圖,一次函數(shù)y1=﹣x+2的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(﹣1,m),點(diǎn)B(n,﹣1).
(1)求反比例函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)y1>y時(shí),直接寫出x的取值范圍;
(3)求△AOB的面積.
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【題目】某水果店銷售某品牌蘋果,該蘋果每箱的進(jìn)價(jià)是40元,若每箱售價(jià)60元,每星期可賣180箱.為了促銷,該水果店決定降價(jià)銷售.市場(chǎng)調(diào)查反映:若售價(jià)每降價(jià)1元,每星期可多賣10箱.設(shè)該蘋果每箱售價(jià)x元(40≤x≤60),每星期的銷售量為y箱.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)每箱售價(jià)為多少元時(shí),每星期的銷售利潤(rùn)達(dá)到3570元?
(3)當(dāng)每箱售價(jià)為多少元時(shí),每星期的銷售利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)多少元?
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【題目】元旦期間,某超市銷售兩種不同品牌的蘋果,已知1千克甲種蘋果和1千克乙種蘋果的進(jìn)價(jià)之和為18元.當(dāng)銷售1千克甲種蘋果和1千克乙種蘋果利潤(rùn)分別為4元和2元時(shí),陳老師購(gòu)買3千克甲種蘋果和4千克乙種蘋果共用82元.
(1)求甲、乙兩種蘋果的進(jìn)價(jià)分別是每千克多少元?
(2)在(1)的情況下,超市平均每天可售出甲種蘋果100千克和乙種蘋果140千克,若將這兩種蘋果的售價(jià)各提高1元,則超市每天這兩種蘋果均少售出10千克,超市決定把這兩種蘋果的售價(jià)提高x元,在不考慮其他因素的條件下,使超市銷售這兩種蘋果共獲利960元,求x的值.
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