Question

（2005•烏蘭察布）已知如圖：△ABC內(nèi)接于⊙O，P為BC邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，PA為⊙O的切線，切點(diǎn)為A，若PA=6，PC=4，求的值．

Answer 1

【答案】分析：由于∠B、∠ABC都不在直角三角形中，因此需要通過(guò)作輔助線來(lái)達(dá)到這個(gè)目的．過(guò)A作⊙O的直徑AD，連接BD、CD，那么∠ADB=∠ACB、∠ADC=∠B，在Rt△ABD和Rt△ACD中，可得到sinB=AC：AD，sinACB=AB：AD；因此只需求得AB：AC的值即可，分析圖形，可通過(guò)證△PAB∽△PCA來(lái)求得這個(gè)比值．
解答：解：∵PA是⊙O的切線，
∴PA²=PC•PB，
∵PA=6，PC=4，
∴PB=9；
由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，
又∵∠APC=∠BPA，
∴△PAC∽△PBA，
∴；
過(guò)A作⊙O的直徑AD，連接BD、CD；
則有：∠ADB=∠ACB，∠ABC=∠ADC；
在Rt△ABD中，sinADB=sinACB=AB：AD，
同理得：sinADC=sinABC=AC：AD；
∴=．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理、切線的性質(zhì)、弦切角和切割線定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠通過(guò)作輔助線將所求的角轉(zhuǎn)移到相應(yīng)的直角三角形中，是解答此題的關(guān)鍵．