Question

25、將編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)小球放入編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子中，每個(gè)盒子只放入一個(gè)，
①一共有多少種不同的放法？
②若編號(hào)為1的球恰好放在了1號(hào)盒子中，共有多少種不同的放法？
③若至少有一個(gè)球放入了同號(hào)的盒子中（即對(duì)號(hào)放入），共有多少種不同的放法？

Answer 1

分析：①先放入，有5種不同的的方法，再放第二個(gè)球，這時(shí)以4種不同的放法，依此類推，可以求出不同的放法，
②一個(gè)小球固定1號(hào)盒，其余的四個(gè)球隨意放，它們依次有4、3、2、1種不同的放法，于是可以求出不同的放法，
③解法一：在這120種放法中，排除掉全部不對(duì)號(hào)的放法，剩下的就是至少有一個(gè)球放入了同號(hào)的盒子中的放法種數(shù)，解法二：從五個(gè)球中選定一個(gè)球，有5種選法，將它放入同號(hào)的盒子中（如將1號(hào)球放入1號(hào)盒子），其余的四個(gè)球隨意放，有24種放法，這樣共有5×24=120種放法，然后去掉重復(fù)的放法的種數(shù)就是至少有一個(gè)球放入了同號(hào)的盒子中的放法種數(shù)．

解答：解：①將第一個(gè)球先放入，有5種不同的的方法，再放第二個(gè)球，這時(shí)以4種不同的放法，依此類推，放入第三、四、五個(gè)球，分別有3、2、1種放法，所以總共有5×4×3×2×1=120種不同的放法．
②將1號(hào)球放在1號(hào)盒子中，其余的四個(gè)球隨意放，它們依次有4、3、2、1種不同的放法，這樣共有4×3×2×1=24種不同的放法．
③（解法一）
在這120種放法中，排除掉全部不對(duì)號(hào)的放法，剩下的就是至少有一個(gè)球放入了同號(hào)的盒子中的放法種數(shù)．
為研究全部不對(duì)號(hào)的放法種數(shù)的計(jì)算法，設(shè)A₁為只有一個(gè)球放入一個(gè)盒子，且不對(duì)號(hào)的放法種數(shù)，顯然A₁=0，A₂為只有二個(gè)球放入二個(gè)盒子，且不對(duì)號(hào)的放法種數(shù)，∴A₂=1，A₃為只有三個(gè)球放入三個(gè)盒子，且都不對(duì)號(hào)的放法種數(shù)，A₃=2，，A_n為有n個(gè)球放入n個(gè)盒子，且都不對(duì)號(hào)的放法種數(shù)．
下面我們研究A_n+1的計(jì)算方法，考慮它與A_n及A_n-1的關(guān)系，
如果現(xiàn)在有n個(gè)球已經(jīng)按全部不對(duì)號(hào)的方法放好，種數(shù)為A_n．取其中的任意一種，將第n+1個(gè)球和第n+1個(gè)盒子拿來(lái)，將前面n個(gè)盒子中的任一盒子（如第m個(gè)盒子）中的球（肯定不是編號(hào)為m的球）放入第n+1個(gè)盒子，將第n+1個(gè)球放入剛才空出來(lái)的盒子，這樣的放法都是合理的．共有nA_n種不同的放法．
但是，在剛才的操作中，忽略了編號(hào)為m的球放入第n+1個(gè)盒子中的情況，即還有這樣一種情況，編號(hào)為m的球放入第n+1個(gè)盒子中，且編號(hào)為n+1的球放入第m個(gè)盒子中，其余的n-1個(gè)球也都不對(duì)號(hào)．于是又有了nA_n-1種情況是合理的．
綜上所述得A_n+1=nA_n+nA_n-1=n（A_n+A_n-1）．
由A₁=0，A₂=1，得A₃=2（1+0）=2，A₄=3（2+1）=9，A₅=4（9+2）=44．
所以至少有一個(gè)球放入了同號(hào)的盒子中的放法種數(shù)為全部放法的種數(shù)減去五個(gè)球都不對(duì)號(hào)的放法種數(shù)，即120-44=76種．
（解法二）
從五個(gè)球中選定一個(gè)球，有5種選法，將它放入同號(hào)的盒子中（如將1號(hào)球放入1號(hào)盒子），其余的四個(gè)球隨意放，有24種放法，這樣共有5×24=120種放法．
但這些放法中有許多種放法是重復(fù)的，如將兩個(gè)球放入同號(hào)的盒子中（例如1號(hào)球和2號(hào)球分別放入1號(hào)盒子、2號(hào)盒子中）的放法就計(jì)算了兩次，這樣從總數(shù)中應(yīng)減去兩個(gè)球放入同號(hào)的盒子中的情況，得120-C₅²P₃³=120-60（種）．
很明顯，這樣的計(jì)算中，又使得將三個(gè)球放入同號(hào)的盒子中（例如1號(hào)球、2號(hào)球和3號(hào)球分別放入1號(hào)盒子、2號(hào)盒子和3號(hào)盒子中）的放法少計(jì)算了一次，于是前面的式子中又要加入C₅³P₂²=20種，
再計(jì)算四個(gè)球、五個(gè)球放入同號(hào)盒子的情況，于是再減去四個(gè)球放入同號(hào)盒子中的情況C₅⁴P₁¹，最后加上五個(gè)球放入同號(hào)中的情況C₅⁵．
整個(gè)式子為120-C₅²P₃³+C₅³P₂²-C₅⁴P₁¹+C₅⁵=120-60+20-5+1=76（種）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查計(jì)數(shù)方法的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是掌握計(jì)數(shù)原理，特別是第三問的解法不止一種，請(qǐng)同學(xué)們熟練掌握．