(1999•南京)如果拋物線y=-x2+2(m-1)x+m+1與x軸都交于A,B兩點,且A點在x軸的正半軸上,B點在x軸的負半軸上,OA的長是a,OB的長是b.
(1)求m的取值范圍;
(2)若a:b=3:1,求m的值,并寫出此時拋物線的解析式;
(3)設(2)中的拋物線與y軸交于點C,拋物線的頂點是M,問:拋物線上是否存在點P,使△PAB的面積等于△BCM面積的8倍?若存在,求出P點的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
分析:(1)根據兩根之積小于0及根的判別式大于0得到m的取值.
(2)利用比值設出點A,B的坐標,利用根與系數的關系求解m,進而求得拋物線解析式.
(3)應先求得△BCM面積,進而求得△BCM面積的8倍.易求得AB的長,設P的縱坐標為y,那么△PAB的面積=
×AB×|P
Y|縱坐標的絕對值.
解答:解:(1)設A,B兩點的坐標分別是(x
1,0)、(x
2,0),
∵A,B兩點在原點的兩側,
∴x
1x
2<0,即-(m+1)<0,
解得m>-1.
∵△=[2(m-1)]
2-4×(-1)×(m+1)
=4m
2-4m+8
=4×(m-
)
2+7
當m>-1時,△>0,
∴m的取值范圍是m>-1;
(2)∵a:b=3:1,設a=3k,b=k(k>0),
則x
1=3k,x
2=-k,
∴
,
解得
.
∵
時,
(不合題意,舍去),
∴m=2,
∴拋物線的解析式是y=-x
2+2x+3;
(3)易求拋物線y=-x
2+2x+3與x軸的兩個交點坐標是A(3,0),B(-1,0)
與y軸交點坐標是C(0,3),頂點坐標是M(1,4).
設直線BM的解析式為y=px+q,
則
.
解得
.
∴直線BM的解析式是y=2x+2.
設直線BM與y軸交于N,則N點坐標是(0,2),
∴S
△BCM=S
△BCN+S
△MNC=
×1×1+
×1×1
=1
設P點坐標是(x,y),
∵S
△ABP=8S
△BCM,
∴
×AB×|y|=8×1.
即
×4×|y|=8.
∴|y|=4.
∴y=±4.
當y=4時,P點與M點重合,即P(1,4),
當y=-4時,-4=-x
2+2x+3,
解得
.
∴滿足條件的P點存在.
P點坐標是(1,4),(1+2
,-4)(1-2
,-4).
點評:拋物線與x軸有2個交點,根的判別式大于0;注意利用根與系數的兩個關系求解;到一條線段為定值的點的縱坐標有2個.