Question

已知：矩形紙片ABCD中，AB=26厘米，BC=18.5厘米，點E在AD上，且AE=6厘米，點P是AB邊上一動點．按如下操作：

步驟一，折疊紙片，使點P與點E重合，展開紙片得折痕MN（如圖1所示）；
步驟二，過點P作PT⊥AB，交MN所在的直線于點Q，連接QE（如圖2所示）
（1）無論點P在AB邊上任何位置，都有PQ

=

QE（填“＞”、“=”、“＜”號）；
（2）如圖3所示，將紙片ABCD放在直角坐標(biāo)系中，按上述步驟一、二進(jìn)行操作：
①當(dāng)點P在A點時，PT與MN交于點Q₁，Q₁點的坐標(biāo)是（

0

，

3

）；
②當(dāng)PA=6厘米時，PT與MN交于點Q₂，Q₂點的坐標(biāo)是（

6

，

6

）；
③當(dāng)PA=12厘米時，在圖4中畫出MN，PT（不要求寫畫法），并求出MN與PT的交點Q₃的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得：PQ=QE．
（2）①②問，分別畫出圖形，可直觀的得出Q₁點的坐標(biāo)、Q₂點的坐標(biāo)；
③連接EP，作EP的中垂線即得MN，過點P作AB的垂線，可得出PT，過點E作EG⊥Q₃P，垂足為G，則四邊形APGE是矩形，證明△Q₃PF∽△PEA，利用對應(yīng)邊成比例可得出Q₃P，繼而得出Q₃的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由折疊的性質(zhì)可得：PQ=QE；

（2）①當(dāng)點P在A點時，如圖①所示：

故可得：Q₁點的坐標(biāo)是（0，3）；
②如圖②所示：

Q₂點的坐標(biāo)是（6，6）；
③如圖所示：

設(shè)MN與EP交于點F，
在Rt△APE中，∵PE=

AE2+AP2

=6

5

，
∴PF=

1

2

PE=3

5

，
∵∠Q₃PF+∠EPA=90°，∠AEP+∠EPA=90°，
∴∠Q₃PF=∠AEP．
又∵∠EAP=∠Q₃FP=90°，
∴△Q₃PF∽△PEA，
∴

Q3P

PE

=

PF

EA

，
∴Q₃P=

PF×PE

EA

=15．
∴Q₃（12，15）．

點評：本題考查了一道幾何與函數(shù)綜合題，它以“問題情境--建立模型--解釋、應(yīng)用與拓展”的模式，通過動點P在AB上的移動構(gòu)造探究性問題，讓學(xué)生在“操作、觀察、猜想、建模、驗證”活動過程中，提高動手能力，培養(yǎng)探究精神，發(fā)展創(chuàng)新思維．而試題的三個探究問題表現(xiàn)出對試題的求解要求層次分明，體現(xiàn)了“讓不同的人學(xué)不同的數(shù)學(xué)”這一基本教學(xué)理念．